Zad. 1. Jan III Sobieski wstąpił na polski tron, mając więcej niż 43 lata i panował trzecią część swego życia. Wiedząc, że nie dożył 69 urodzin, podaj, ile lat panował i ile lat żył król Sobieski. Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 2. Czy wśród dwunastu kolejnych liczb naturalnych nie mniejszych niż 4 może być pięć liczb pierwszych? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 3. Dwa okręgi styczne zewnętrznie są również styczne wewnętrznie do trzeciego okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz obwód trójkąta wyznaczonego przez środki tych okręgów.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Mikołaj Bilski - SP 6 Jelenia Góra, Antoni Buraczewski - SP 107 Wrocław, Gracjan Ciupa - SP 72 Wrocław, Szymon Grech - NSP Koszarawa Bystra, Hubert Grześkowiak - SP Mieroszów, Igor Hołowacz - SP Bielany Wrocławskie, Martyna Kubiak - SP Skoki, Szymon Kubiak - SP Skoki, Jakub Ptak - SP 64 Wrocław, Natasza Ptak - SP 118 Wrocław, Mikołaj Roszczyk - SP 7 Legionowo, Adam Stachelek - SP 301 Warszawa, Bartosz Szczerba - SP 35 Szczecin, Szymon Warmuła - SP Kobierzyce, Jerzy Wąsiewicz - SP Kostowiec i Michalina Więckowska - SP 1 Konstancin-Jeziorna;
- 2,5 pkt. - Konrad Andruchów - SP 4 Bolesławiec, Mikołaj Cholewiński - SSP 35 Legionowo, Joachim Górski - SP Mszczonów, Gabriela Kelner - SP Mieroszów, Marek Komorowski - SP 5 Żory, Kacper Kuszaj - SP 2 Jelcz-Laskowice, Gabriela Poświata - SSP 35 Legionowo, Zuzanna Prasek - PSP Mieroszów, Michał Świerkowski - SP 215 Warszawa i Aleksandra Zalewska - SP 1 Sokółka;
- 2 pkt. - Mieszko Baszczak - SP 301 Warszawa, Norbert Frydrysiak - SP Mszczonów, Natasza Henko - SP Mieroszów, Antoni Kołat - SP 45 Wrocław, Kaja Srokosz - SP 52 Warszawa, Klaudia Sułkowska - SP Mieroszów i Wiktor Szywała - SP 1 Sobótka;
- 1,5 pkt. - Jakub Badowski - SP Mszczonów, Hubert Cymbalista - SP 1 Sobótka, Mateusz Krakowiak - SP 74 Wrocław, Kajetan Przybyła - SP ? i Kacper Tylek - SP Świątniki Górne;
- 1 pkt. - Antoni Bryszewski - SP 15 Jelenia Góra i Michał Gębarowski - SP Polna.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 1 punktu.
Po siedmiu miesiącach Ligi Zadaniowej dla SP prowadzą: Gratulujemy!
Zad. 1. Jan III Sobieski panował na pewno dłużej niż 43/2 = 21,5 roku, ale mniej niż 69/3 = 23 lata. Zatem panował przez 22 lata, a żył 22·3 = 66 lat.
Zad. 2. Liczby pierwsze większe od 3 muszą być nieparzyste, bo jedyna liczba pierwsza parzysta to 2. Wśród kolejnych 12 liczb naturalnych jest 6 liczb nieparzystych (co druga). Ponadto wśród tych 12 liczb są 4 podzielne przez 3 (co trzecia), w dwie są parzyste i dwie nieparzyste. Zatem wśród 6 kolejnych liczb nieparzystych na pewno dwie są podzielne przez 3, a skoro są większe od 3, nie mogą być pierwsze. Zostały tylko 4 liczby nieparzyste, więc piątej nie znajdziemy nigdy. Natomiast 4 możemy znaleźć, np. wśród 12 liczb od 4 do 15 liczbami pierwszymi są 5, 7, 11 i 13.
Zad. 3. Oznaczmy promienie okręgów stycznych zewnętrznie jako r i R. Odległość środków okręgów stycznych zewnętrznie jest sumą długości ich promieni, a odległość środków okręgów stycznych wewnętrznie jest różnicą długości ich promieni. Zatem obwód trójkąta ABS wyznaczonego przez środki okręgów jest równy |AB|+|BS|+|SA| = (r+R)+(5-R)+(5-r) = 10 cm.
