marzec 2018

marzec 2018

Data ostatniej modyfikacji:
2018-07-14

Zad. 1. Jacek zbudował model bryły z jednakowych sześcianów. Rysunek z lewej przedstawia jej widok z tyłu, a z prawej - widok z góry. Narysuj widok bryły z prawej strony, jeżeli wiadomo, że do jej zbudowania Jacek użył największej możliwej liczby klocków.

Zad. 2. Agatka napisała liczbę dziewięciocyfrową złożoną z różnych(!) cyfr 1, 2, . . . , 9. Zauważyła, że każde dwie kolejne cyfry tej liczby tworzą liczbę dwucyfrową, którą można przedstawić w postaci iloczynu k^.l, gdzie k, l ∈ {1, 2, . . . , 9}. Jaką liczbę napisała Agatka?

Zad. 3. Na Wyspach Bergamutach żyją sarny, wilki i lwy. Wilki zjadają sarny, a lwy zjadają sarny i wilki. Gdy wilk zje sarnę, zmienia się w lwa. Gdy lew zje sarnę, zmienia się w wilka, a gdy zje wilka - zmienia się w sarnę. Początkowo na jednej z wysp było 17 saren, 55 wilków i 6 lwów. Jaka jest największa możliwa liczba zwierząt, które mogą pozostać na tej wyspie w sytuacji, gdy żadne zwierzę nie może zjeść innego?

Wyniki:

W marcu 2 punkty zdobyli:

2 - pkt. Joanna Lisiowska XXI LO Warszawa, Bartłomiej Zug LO Olesno, Jakub Dobrzański I LO Lubin, Mikołaj Dyblik VII LO Wrocław i Józef Sendor ???.
1 - pkt. Mikołaj Zapotoczny LO Ząbkowice Śl.

Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.

Odpowiedzi:

Zad. 1. Bryłę Jacka przedstawia poniższy rysunek (widok ze strony prawej i lewej). Bryła składa się z 17 sześcianów.

Zad. 2. Niech x, y ∈ {1, 2, . . . , 9}. Parę xy nazwiemy dopuszczalną, jeżeli istnieją liczby k, l ∈ {1, 2, . . . , 9} o tej własności, że 10x + y = k ^.l. Niech x≠y. Ponieważ jedyną dopuszczalną parą zawierającą cyfrę 9 jest 49, więc segment 49 musi występować na końcu szukanej liczby dziewięciocyfrowej z. Są dwie dopuszczalne pary, w których występuje cyfra 7: 27 oraz 72. Nie mogą one wystąpić jednocześnie w liczbie z, a koniec jest już zajęty, skąd wniosek, że segment 72 musi znajdować się na początku liczby z. Dopuszczalnymi parami zawierającymi cyfrę 8 są 18, 28, 48 i 81. Skoro liczba 4 została już użyta do utworzenia segmentu 49, jedyną możliwością pojawienia się cyfry 8 jest jej wystąpienie w segmencie postaci 281. Wobec tego z = 7281 . . . 49. Pozostaje uporać się z cyframi 3, 5 i 6. Ponieważ ani 13, ani 34 nie jest parą dopuszczalną, więc jedyną dopuszczalną parą xy, w której x ∈ {5, 6} i y = 3, jest 63. Uzyskujemy z = 728163549 i bezpośrednio sprawdzamy, że liczba ta spełnia warunki zadania.

Zad. 3. Niech S − aktualna liczba saren, W – wilków i L – lwów. Są 3 możliwości, aby żadno zwierzę nie mogło zjeść innego: a) pozostaną same sarny, b) same wilki, c) same lwy.
Poniższa tabela przedstawia, jak zmienia się liczba zwierząt na wyspie.

sytuacja	L	W	S
I. lew zjada wilka i zamienia się w sarnę	-1	-1	+1
II. lew zjada sarnę i zamienia się w wilka	-1	+1	-1
III. wilk zjada sarnę i zamienia się w lwa	+1	-1	-1

Niech x oznacza, ile razy wystąpiła sytuacja I, y - sytuacja II, z - sytuacja III. Wówczas liczbę zwierząt na wyspie pkreślają równania L = 6–x–y+z, W = 55–x+y–z, S = 17+x–y–z. Rozpatrzmy przypadek a) gdy zostaną same sarny, czyli L=0 i W=0, zatem czyli 6–x–y+z = 0 i 55–x+y–z = 0. Wynika stąd, że 2x=61, co jest niemożliwe. W przypadku b) gdy zostaną same wilki, postępując jak wyżej, też otrzymamy sprzeczność. W przypadku c) gdy pozostaną same lwy, mamy S=0 i W=0, czyli 17+x–y–z = 0 i 55–x+y–z = 0, skąd z=36. Z równania 55–x+y–36 = 0 otrzymujemy x = 19+y, a ponieważ y≥0, więc x≥19. Zatem liczba lwów wynosi L = 6–x–y+36 = 42–x–y = 42+(x–y)–2x = 61–2x. Ponieważ 2x≥38 , wynika stąd, że L ≤ 61–38 = 23. Największa możliwa liczba zwierząt, które mogą pozostać na wyspie, gdy żadne zwierzę nie może zjeść innego, to 23 lwy. Trzeba jeszcze pokazać, że taka sytuacja jest możliwa do zrealizowania. Wyjściowym jest układ (S, W, L) = (17, 55, 6). Najpierw 17 wilków zje 17 saren, co daje (17–17, 55–17, 6+17) = (0, 38, 23). Następnie 19 lwów zje 19 wilków, co daje (0+19, 38–19, 23–19) = (19, 19, 4). Na koniec 19 wilków zje 19 saren, co daje (19–19, 19–19, 4+19) = (0, 0, 23).