Zad. 1. Ile jest liczb trzycyfrowych o iloczynie cyfr mniejszym niż 2?
Zad. 2. Komputerowi polecono obliczyć sumę cyfr liczby 2020! (przypominamy, że 2020! = 2020⋅2019⋅…⋅3⋅2⋅1), a następnie obliczyć sumę cyfr otrzymanej w ten sposób liczby i tak dalej aż do momentu, gdy otrzyma liczbę jednocyfrową. Tę liczbę polecono mu wyświetlić na ekranie. Jaką liczbę wyświetlił komputer?
Zad. 3. Ile wynosi suma wszystkich naturalnych dzielników liczby 2020?
W marcu punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Maria Bochenek SP Mieroszów, Ryszard Bogacz SP Smolec, Franciszek Czaplewski SP 11 Inowrocław, Mateusz Galik SP Arka Wrocław, Wiktor Kuczaj SP 7 Nowa Ruda, Aleksander Masztalski SP 3 Mikołów, Joanna Nowakowska SP 3 Głogów, Maciej Pisowacki SP Mieroszów, Miłosz Popwicz SP 91 Wrocław, Oliwia Stańczyk SP Aslan w Głogów, Wiktor Szwarczyński SP Mieroszów, Kacper Wereszczyński PSP Mieroszów, Dominika Wojdacz SP 11 Inowrocław, Anastasiia Yakovleva SP 3 Mogilno,;
- 2,5 pkt. – Oliwia Raszewska SP 6 Boguszów-Gorce, Tomasz Zawadzki SP Wodzisław,
- 2 pkt. – Natalia Czurejno SP Wykroty, Mirosław Gruszczyński SP 9 Gliwice, Maciej Hryniewicz SP 9 Gliwice, Wojciech Koliński SP Aslan Głogów, Julia Kubeczko SP Studzienice, Wiktoria Pietrzak SP 3 Głogów, Gabriel Przewoźnik SP Góra;
- 1,5 pkt. – Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław,
- 1 pkt. – Maria Warachim SP 24 Wocław,
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Szukanych liczb jest 172. Możliwe iloczyny mniejsze niż 2 to tylko 0 lub 1.
Iloczyn trzech cyfr wynosi 0 wtedy i tylko wtedy, gdy któraś z nich wynosi 0. Na pierwszym miejscu liczby trzycyfrowej zawsze jest cyfra różna od zera. Mamy zatem trzy możliwości:
a) w liczbie jest jedno zero – na miejscu drugim,
b) w liczbie jest jedno zero – na miejscu trzecim,
c) w liczbie są dwa zera – na miejscu drugim i trzecim.
Liczb spełniających warunek a) jest 9⋅9=81 (bo pierwsze i trzecie miejsce możemy obsadzić niezależnie na 9 sposobów każde). Analogicznie liczb spełniających warunek b) jest 81. Liczb spełniających warunek c) jest 9, bo na tyle sposobów możemy obsadzić pierwsze miejsce.
Iloczyn trzech cyfr wynosi 1 wyłącznie dla liczby 111 (dlaczego?).
Liczb o szukanej własności jest więc 81+81+9+1=172.
Zad. 2. Komputer wyświetlił liczbę 9. Liczba 2020! jest podzielna przez 9. Jakaś liczba jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy jej suma cyfr jest podzielna przez 9. Po dodaniu cyfr liczby 2020! (których jest ogromnie dużo) otrzymamy więc znowu liczbę podzielną przez 9, a więc przy obliczaniu sumy jej cyfr znowu otrzymamy liczbę podzielną przez 9. Powtarzamy tę procedurę, a gdy w końcu otrzymamy liczbę jednocyfrową, musi ona być podzielną przez 9, a więc musi to być 9 (0 także jest podzielne przez 9, ale nie może być sumą cyfr innej liczby).
Zad. 3. Suma dzielników liczby 2020 wynosi 4284. Rozłóżmy 2020 na czynniki pierwsze. Otrzymamy 22⋅5⋅101. Dzielniki 2020, w których liczba 2 nie występuje są cztery: 1, 5, 101 i 5⋅101=505. Dzielniki, w których liczba 2 występuje w pierwszej potędze, to te powyższe cztery liczby pomnożone przez 2, a dzielniki, w których liczba 2 występuje w drugiej potędze, to te liczby pomnożone przez 4. Końcowy wynik to (1+5+101+505)⋅(1+2+4) = 612⋅7 = 4284.
