październik 2008

Z rozwiązaniem zadania z kapeluszami (październik 2008) jako matematyk się nie zgadzam! Nie było w nim informacji o tym, że wypowiedź pierwszej osoby miała wpływ na wypowiedź drugiej! Równie dobrze, to trzeci może mieć kapelusz czarny, a pierwszy i drugi - biały, dlatego jest pewien, że jego jest czarny. Uważam, że oba rozwiązania są równie prawdopodobne. Zresztą nie tylko ja. A nawet więcej - większość znajomych matematyków przychyla się do rozwiązania 2 białe, 1 czarny.

To, że pierwsza wypowiedź ma wpływ na drugą, dość jasno wynika z określenia "a ja TERAZ wiem...". Natomiast układ kapeluszy biały-biały-czarny odpada z tego powodu, że gdyby tak było, to ten z czarnym kapeluszem na głowie wykrzyknąłby jako pierwszy, że wie, jaki ma kolor na głowie, bo przecież białych kapeluszy było tylko dwa.

A kultura wypowiedzi? Jeśli mówi pierwszy, to drugi nie wykrzykuje, a "teraz" oznacza, że zanalizował sytuację i podał swoją wersję. Nie wszyscy na szczęście są w gorącej wodzie kąpani i krzyczą wtedy, kiedy chcą. Tego należałoby nauczyć młodzież, która jak tylko coś jej się wydaje, to nie zważa na kulturę, tylko krzyczy. Ja zakładam, że w teatrze pewna kultura wypowiedzi obowiązuje. Zresztą sama osoba zamieszczająca zadanie w odpowiedzi zapisała "więc zapewne dzięki wypowiedzi pierwszego" co jednoznacznie dowodzi, ze nie ma pewności iż wypowiedź pierwszego miała wpływ na wniosek drugiego aktora.
Gdyby treść zadania brzmiała np. "Jeżeli Ty nie wiesz, jaki jest Twój kapelusz, to ja teraz wiem, jaki kolor ma mój kapelusz!", nie byłoby wątpliwości, co do wpływu poprzedniej wypowiedzi.
Jednak każde poprawne rozwiązanie powinno zostać uznane, a w związku z niejednoznacznością zadania, oba rozwiązania są poprawne: zarówno zakładające, iż pierwsza wypowiedź wpłynęła na drugiego aktora, jak i to, w której wypowiedź pierwszego nie ma wpływu na wnioski drugiej osoby. Miejmy nadzieję, że prowadzący konkurs nie jest osobą, która uważa tylko swoje rozwiązanie za jedyne i słuszne, ale też potrafi się przychylić do konstruktywnego rozwiązania niejednoznacznego zadania. Wnioskować można by, że tak, skoro minął 15 listopada, a nadal nie ma wyników.

Uważam Pani wypowiedź za nadinterpretację tego zadania, ale coż, każdy ma prawo do własnego zdania. Rozbawiło mnie tylko przekonanie o konieczności "kultury wypowiedzi" - przecież to jest tylko zadanie logiczne... Nie należy chyba tego brać aż tak na serio :) Przecież jest wiele zadań logicznych, które nie przystają do rzeczywistości i zwykle rozwiązujący je nie mają z tego powodu problemów... :)
Pozdrawiam :)

Szanowny Panie.
Otóż rozwiązujący nie ma problemu z rozwiązaniem zadania, gdy jest ono podane precyzyjnie. Pozostałe dwa zadania nie budzą wątpliwości.
A co do kultury, to każdy ocenia wg siebie. Wnioskuję zatem, że kultura nie jest Pana najmocniejszą stroną, a brak hamulców związanych z właściwym zachowaniem Pana w ogóle nie wzrusza. No cóż.
Jeśli natomiast chodzi o realizm zadań, to edukacja od kilku lat zmierza w kierunku (na szczęście) urealnienia zadań. To tak na marginesie.
Pozdrawiam.

Jeśli już, to pani a nie pan (ale ok, bo mam świadomość, że po moim nicku płci nie da się rozpoznać). Czy ja gdzieś napisałam, że nie obchodzi mnie, czy ktoś w realnym świecie zachowuje się kulturalnie, czy nie? Napisałam tylko, że w odniesieniu do rozwiązywania zwykłego zadania powoływanie się na kulturę uważam za nieco dziwne (i będące zdecydowanie nadinterpretacją treści), ale zaznaczyłam też, że każdy ma prawo do własnego zdania. A Pani oceniła mnie najwyżej po pozorach, niesprawiedliwie, nie znając mnie wcale...
A co jest złego w zadaniach surrealistycznych? :D

Oceniłam to, co wynikało z pisemnej wypowiedzi. Przepraszam za zmianę płci, ale styl wypowiedzi bardziej pasował do mężczyzny, a faktycznie z nicku płeć nie wynikała :).

Fakt natomiast jest taki, że obserwując młodzież wychowywaną bezstresowo, aż się prosi o zadania nie tylko promujące królową nauk, ale kształtujące właściwą postawę. Nie była to z mojej strony nadinterpretacja zadania tylko stwierdzenie, że z treści zadanie nie wynika jednoznacznie, czy wpływ miała poprzednia wypowiedź, czy nie. Co jeszcze raz podkreślę, że wnioskując z odpowiedzi ("więc zapewne dzięki wypowiedzi pierwszego"), nawet osoba zajmująca się konkursem miała tu wątpliwości.

W zadaniach nierealnych co jest złego? Choćby to, że potem pada w edukacji kontrola sensowności wyniku. Realne zadanie tego uczy, a wydumane z niczym nie związane, zwalnia z badania sensowności wyniku. Tylko tyle a może aż tyle... Dlatego pisałam, za na szczęście edukacja dąży do realnych, związanych z życiem zadań, eliminując pytania nastolatków, po co się tego uczą. Czyta zadanie i wie, po co się uczył pewnych rzeczy. A czy to logika, algebra, czy geometria albo ekonomia, czy jeszcze coś innego, to już nie ma znaczenia. Ważne, aby ukształtować w uczniu czy studencie właściwe pojmowanie świata, który można opisać matematyzując i jest to świat jak najbardziej realny.

Nie jestem nauczycielem i nie pomyślałam o takim punkcie widzenia... Ale coś w nim jest :)

Ja pracuję z młodzieżą (i nie tylko) i wiem, że z tym jest duży problem. Ważne jest to, żeby wyliczyć zadanie, a nie to, czy ta odpowiedź ma sens. Dlatego czasem dochodzi do absurdów typu 1/2 studenta itp, a tylko realne zadanie są w stanie sprawić, że uczeń zacznie kontrolować swoje rozwiązania. Przy abstrakcyjnych zadaniach nie ma takiej możliwości, więc tego nie robi. Jeśli zadanie jest realne i życiowe, to nie będzie pytał, po co się ma tego uczyć, a trafiając na zadania np. z przebiegu zmienności funkcji nie wie, gdzie to wykorzysta i po co się tego uczy. Potem liczy większość zadań algorytmicznie, nie zastanawiając się nad ich sensem i jeden mały błąd powoduje, że wychodzą mu bzdury. Efektem końcowym później jest zniechęcenie do matematyki. Wniosek jest jeden: uczniowie muszą zacząć myśleć, a nie działać schematycznie. A z myśleniem jest ciężko, bo zadanie są czasem jakie są. Nie zawsze realne i nie zawsze jednoznaczne i precyzyjne.

Włos mi się jeży, jak czytam wypowiedzi magdalenki, tym bardziej, że przedstawia się jako nauczycielka matematyki, a z (wyniosłego) tonu wypowiedzi wynika, że pewnie z długim stażem.

Otóż matematyka, droga Pani, do czasów Archimedesa postrzegana była wyłącznie jako gimnastyka umysłu, a zadania aplikacyjne nie były do niej zaliczane (były raczej domeną rachmistrzów). Nie wiem dlaczego w ten klasyczny sposób nie można postrzegać matematyki i dziś. Zadania logiczne, a zwłaszcza zadania geometryczne, nie mają na ogół żadnego związku z rzeczywistością, ale są piękne, niezwykle kształcące, rozwijają wyobraźnię, uczą logicznego myślenia, rozbudzają intelekt. Zadania aplikacyjne zaś sprowadzają się na ogół do mechanicznego stosowania reguł i schematów bądź do prostych algorytmów i rachunków. I gdzie tu ma być miejsce na piękno matematyki?

Aplikacyjny charakter zadań matematycznych ośmieszyły już chyba w wystarczającym stopniu sprawdziany gimnazjalne, gdzie zadania próbuje się na siłę układać na zadany temat i wychodzą z tego koszmarki pokazujące prymitywne pseudozastosowania.
Czasopismo dla nauczycieli Matematyka od wielu numerów "katuje" czytelników podobnymi monotematycznymi zestawami autorstwa niejakiej pani Bąk. Proszę do nich zajrzeć i zastanowić się, w ilu z tych zadań uczeń musi choć przez chwilę pomysleć. Mnie (niestety) nie udało się dopatrzeć ani jednego takiego zadania. Widocznie cała inwencja autorki poszła w stworzenie zadań "na temat", a na to, żeby były one mądre matematycznie i rozwijające uczniów zabrakło już pary.

A co do "połowy studenta", po tym właśnie można rozpoznać prawdziwe zadania realistyczne, że wynik rzadko kiedy bywa całkowity. Wyniki całkowite wychodzą w sztucznie i na siłę dopasowywanych do realiów zadaniach szkolnych. W prawdziwym życiu tak się nie zdarza. Dane i wyniki są "nieokrągłe", często są otrzymywane szacunkowo. Właściwa interpretacja tych wyników jest częścią rozwiązania zadania.

A konwencja zadań takich jak to o kapeluszach jest powszechnie znana i oczywista. Nie ma co się tu wymądrzać i na siłę doszukiwać drugiego dna.

Szanowny Panie ze zjeżonym włosem

Ja w 100% popieram Magdalenkę i jej podejście. Wreszcie ktoś normalnie myślący w szkole. Mam 2 synów, a z wykształcenia oboje jesteśmy z żoną humanistami. To, ile czasu spędzaliśmy z naszymi dziećmi nad zadaniami z matematyki, to przechodzi ludzkie pojęcie. Pomijam już bezsensowne zadania, ale sposób oceniania przez niektórych nauczycieli graniczy z parodią. To prawie jak rozważanie, co autor wiersza miał na myśli. Co miał na myśli, to wie on sam, a osoba interpretująca może się tylko domyślać. Zadanie nie ma być ruletką, czy rozwiązujący wpadnie na koncepcję układającego, czy nie. Każde rozwiązanie, jeśli jest poprawne, powinno zostać zaliczone. Wiele walk stoczyłem z nauczycielami moich dzieci, którzy oceniali im sprawdziany, uznając tylko swoją metodę rozwiązania za jedyną i słuszną. I cud, że dzieci po takiej edukacji nie zniechęciły się do nauki i obaj skończyli kierunki ścisłe studiów.

Brawo Szanowna Pani! Więcej takich nauczycieli potrzebuje nasza szkoła. Proszę się nie przejmować nadętymi ważniakami, co będą się czepiać. Krytykować każdy potrafi, a uczyć i to dobrze to sztuka.
Jak chcą zadań abstrakcyjnych, to niech sobie liczą. Poza tym abstrakcja też powinna być poprawnie i ściśle zapisana, bo tylko taka rozwija myślenie. Każda inna dąży do ruletki i domysłów, co autor miał na myśli, a w matematyce, a szczególnie z zadaniach konkursowych, taki rodzaj zadań jest niedopuszczalny. Zresztą co tu dużo szukać, wystarczy przyjrzeć się zadaniom maturalnym z matematyki - co rok problem, bo ktoś udowadnia swoją mądrość i nadmierną kreatywność.
Może trzeba by było zacząć konsultować te zadania z kilkoma osobami.

A tak na marginesie anonimów chyba mamy dużo. Nie sztuką jest krytykować, pozostając anonimowym. Może Pan pochwaliłby się swoimi osiągnięciami?

Pozdrawiam. Kaziemierz
A Pani Magdalenko! Życzę wiele sukcesów w pracy.

No to odezwał się nam "rasowy humanista", co jak wiadomo (na ogół) oznacza: z matematyki jestem noga, nic innego też nie umiem. No bo błędów wszelakich w Pana wpisie było co niemiara (widzę, że admin działa i trochę je poprawił).

Pal licho czy matematyka w szkole ma być aplikacyjna, czy nie. To jest przecież dział "łamigłówki logiczne". Jak łamigłówki mają mieć zastosowanie w życiu? Jak Pan nie lubi matematyki, to wejdź Pan na inny Portal, a ten zostaw tym, co lubią.

Jeszcze jedno. Samo spłodzenie synów nie czyni Pana jeszcze kompetentnym do wypowiadania się w kwestiach edukacji. Być może to jednak nauczyciele Pana dzieci mieli rację i te Wasze rozwiązania wcale poprawne nie były. Tylko jak tu wytłumaczyć to "humaniście", który wie lepiej!

A internet ze swej istoty jest anonimowy. Jak się Pan podpisał "Kazimierz", to nie jest Pan mniej anonimowy niż ja. Zresztą "anonim" pojawia się na forum jako podpis domyślny i jakoś to nikomu nie przeszkadza.

Drogi Panie Kazimierzu!
Włos jeżył się akurat na damskiej głowie, ale to szczegół. W przeciwieństwie do Pana, jestem matematykiem z wykształcenia i wykonywanego zawodu. A w matematyce jasne jest, że liczy się siła argumentów, a nie tego, kim kto jest i ile ma tytułów przed nazwiskiem. Mam nadzieję, że moje argumenty bronią się same i nie muszę "chwalić się osiągnięciami" (a byłoby czym), żeby stały się silniejsze i bardziej przekonujące. Pan był łaskaw opisać w detalach stan wykształcenia w Pana rodzinie, co wcale wagi Pana argumentów nie wzmocniło, a nawet obawiam się, że ją osłabiło, bo powołuje się Pan na sprawy bez związku dla meritum. Dyskutujmy na racje, nie na życiorysy. Pozdrowienia dla całej rodziny.

"Jak chcą zadań abstrakcyjnych, to niech sobie liczą". To jest konkurs. Mogą się w nim pojawiać zadania abstrakcyjne. Liczą je ci, co chcą. No i w czym problem? :) Jak komuś się nie podobają te zadania, nie musi brać udziału w konkursie, proste. A zadanie z kapeluszami moim zdaniem wcale nie było abstrakcyjne... :) I było poprawnie zapisane. A to, że czasami trzeba się troszkę domyślić, co autor miał na myśli, pisząc zadanie... Przecież nikt nie jest doskonały, zawsze może się zdarzyć, że dla układającego treść problemu wydaje się ścisła, a dla rozwiązującego - nie. I zdarza się to w zadaniach z każdego przedmiotu.
Pozdrawiam :)

Zadanie z kapeluszami było przede wszystkim oklepane. Nikt, kto bawi się trochę matematyką, nie miał raczej z nim problemów. Problem miała jakaś nauczycielka, która rozdyma go w tej chwili do nieprzytomności. Nikt z uczestników konkursu nie zabiera nawet w tej dyskusji głosu i Ty, Idril, nie daj się prowokować. Nie ma w ogóle o co bić piany.

Zadanie jak zadanie, ale z przykrością stwierdzam, że w tym konkursie matematyka przestaje być przedmiotem ścisłym, tylko robi się tak, jak napisał Kazimierz - ruletką. To bardzo zniechęca, dlatego ja już nie biorę w nim udziału. W zeszłym roku brałem, ale zadania były jakieś rozsądniejsze. Poza tym zniechęcił mnie fakt rozmijania się z regulaminem... Robi się konkursowiczów w balona. Do dziś nie ma wyników z października. Trzy miesiące spóźnienia to lekka przesada.
Poza tym zgadzam się z Kaziem z jeszcze jedną rzeczą: może czas te zadania konsultować z kimś, kto się na tym zna i potrafi kreatywnie myśleć. Niech matematyka będzie matematyką, a nie interpretacją zadań. Oby nie tylko jedyną i słuszną układającego zadania. Abstrakcyjne zadanie proszę bardzo, ale precyzyjne!!! Szczerze, to ja w tym zadaniu też nie widzę informacji, że pierwsze zdanie ma wpływ na drugie, a też jestem matematykiem. Trzeba czytać zadanie, a nie dopowiadać sobie resztę.

Ludzie kochani! Powariowaliście, czy co? A gdzie kultura dyskusji? Forum nie służy do obrażania innych. I tacy ludzie mają wykształcenie wyższe! Chyba powinien być dodatkowy egzamin na studiach z kultury. Ostatnie wypowiedzi niektórych osób o tym przekonują i to jest argument Szanowna Pani od włosa i Panie anonimowy.

Dyskusja jest zbędna. Każde rozwiązanie powinno być zaliczone, jeśli spełnia warunki zadania! Szanowni Państwo tego uczą na studiach. Sam tego uczę. To, że autor nie przewidział innej poprawnej odpowiedzi, to problem układającego zadanie, aby dodatkowe rozwiązanie uwzględnić. Nie ma o czym dyskutować.

Też tak myślę, dlatego dalszej dyskusji nie prowadzę.
Polecam za to konkurs z zadaniami abstrakcyjnymi logicznymi, ale dopracowanymi: Paryż zaprasza mistrzów. Zresztą można o nim poczytać na tym Portalu.

Ten konkurs to Międzynarodowe Mistrzostwa w Grach Matematycznych i Logicznych :) Ale tam również zdarzają się zadania źle sformułowane, niedopracowane... :)

Nie chciałbym być posądzony o brak kultury, ale najwyraźniej Pani Magdalenka wypowiada się na temat spraw, o których pojęcie ma "takie sobie". Od wielu lat startuję w GMiLu i błędy w zadaniach są tam na porządku dziennym, można nawet powiedzieć, że stały się znakiem firmowym tego konkursu. Co roku są z tego powodu większe lub mniejsze awantury podczas finałów, a z zadaniami eliminacyjnymi wcale nie jest lepiej. Ale to jakoś nie zniechęca uczestników.

Poza tym nie rozumiem, co ma brak wyników z października do rozwiązywania zadań z grudnia. Zresztą w zeszłym roku wyniki podawane były w sposób zdawkowy. Ja rozwiązuję zadania dla przyjemności, a nie czczej chęci zobaczenia swojego nazwiska na liście najlepszych. Zresztą gościu napisał, że są zawaleni odpowiedziami. Należy się cieszyć, nie narzekać. Trzeba docenić, że komuś chce się w ogóle taką Ligę prowadzić. Więcej zrozumienia!

Co do zadania o kapeluszach, to nie widzę w nim nic złego. Rozwiązywanie łamigłówek to nie uprawianie ścisłej nauki. Trzeba wykazać się też znajomością pewnej konwencji. Szkoda tylko, że w tym miejscu zamiast dyskusji o zadaniach wciska się jakieś przemyślenia o kulturze i celach edukacji. Przenieście się z tą dyskusją na Forum, a tu zostawcie miejsce dla tych, którzy chcą rozwiązywać zadania.

Ja również od wielu lat startuję w GMiLu, podobnie jak i moi uczniowie, co więcej - z sukcesami - i błędy w zadaniach NIE są tam na porządku dziennym, a już na pewno NIE można powiedzieć, że stały się znakiem firmowym tego konkursu. Nie przypominam sobie awantur dotyczących zadań (biorą tam udział ludzie na poziomie). Co więcej, o ile jakieś nieporozumienie wystąpiło któregoś roku, to związane było ze złym tłumaczeniem zadania, ale wystarczy wziąć oryginał, aby problem zniknął. No tak, ale jest w tym pewien problem - trzeba znać francuski. Pamiętam też, jak zakończyła się taka sytuacja - osoba odpowiedzialna za konkurs przeprosiła uczestników za zdarzenie i zaliczyła wszystkie sensowne odpowiedzi. I to jest gość na poziomie!

Do tego czasu nie komentowałem tej dyskusji, tylko się jej przyglądałem, bo sam nie biorę udziału w Lidze. Nie będę opowiadał się, kogo popieram, a kogo nie, bo tu się tworzy błędne koło, ale napiszę tylko tyle:

Szanowna Redakcjo, do przyznania się do tego, że jest jeszcze inna odpowiedź, której nie założyliście, że ktoś poda, trzeba mieć klasę. Nikt z Was nie straciłby swojego wizerunku, wręcz zbudowałby większy, a takie postępowanie we mnie wzbudziło pewien niesmak.
Sam prowadzę zajęcia z uczniami w LO i zdarzyło mnie się kiedyś ułożyć zadanie z RP, które miało, jak się okazało, więcej niż jedno rozwiązanie. Uznałem oba, bo to był MÓJ błąd. Nie straciłem autorytetu wśród swoich uczniów, ale zyskałem większy. Co więcej byłem dumny z uczniów, że potrafią kreatywnie myśleć.

Używając określenia "awantury" nie szło mi rzecz jasna o to, że goście wyrywają sztachety z płotów. Zgadzam się zatem na użyte przez mojego przedmówcę "nieporozumienie". Sam przyznaje on jednak, że błędy w GMiLu są. Oczywiście że większość z nich bierze się z kulawego tłumaczenia z francuskich oryginałów, ale każdy uczestnik tego konkursu wie doskonale, że ani podczas półfinałów, ani finałów krajowych nie ma możliwości zobaczenia oryginałów, więc dziękuję bardzo za taką radę. Zresztą gdyby nawet, to (o ile mi wiadomo) nie wszystkie polskie zadania czerpane są z wersji francuskiej. A to, że organizatorzy przyznają się do błędu, nie zmienia faktu, że błędy są i nie powinno się gloryfikować tego konkursu, jako konkursu z bezbłędnymi i jednoznacznymi zadaniami, co sugerowała swego czasu magdalenka. Zresztą wystarczy przejrzeć archiwalne dyskusje na temat zadań gmilowych na rozmaitych forach (np. tutaj), żeby przekonać się, jak jest naprawdę. Sam mogę z pamięci wymienić co najmniej 10 poważnych wpadek z kilku zaledwie ostatnich lat. 

1) Tak się złożyło, że uczestnicy powyższej dyskusji deklarują, że w Lidze nie biorą udziału. Gdyby było inaczej, doskonale wiedzieliby, że OCZYWIŚCIE uznawane są wszystkie POPRAWNE rozwiązania, niezależnie od tego, czy są zgodne z rozwiązaniem "firmowym".

2) Redakcja Ligi chętnie przyznałaby się do zarzucanych nam błędów, ale nie bardzo wiemy, do czego się mamy przyznawać. Znakomita większość uczestników Ligi Łamigłówkowej nie miała ŻADNEGO problemu z rozwiązaniem zadania o kapeluszach. Oczywiście zawsze może znaleźć się ktoś, kto nie zrozumie zadania lub rozwiąże je źle, ale to jeszcze nie jest powód, żeby dyskwalifikować to zadanie lub uznawać za poprawne rozwiązania nieracjonalne. Aby uznać poprawność odpowiedzi "magdalenki" - 2 białe, 1 czarny - trzeba założyć nie tylko niezależność obu wypowiedzi, ale to, że pierwsza z nich w ogóle nie miała miejsca, co jest jednak niezgodne z treścią zadania.

3) Przy okazji przypomnijmy fakt dość oczywisty, ale wart chyba przypomnienia (w świetle powyższej dyskusji): rozwiązać zadanie to podać WSZYSTKIE wyniki spełniające warunki zadania. 

4) Z przyczyn czysto porządkowych prosimy o kontynuowanie dyskusji o konkursie GMiL na stronie Portalu jemu poświęconej.

Zad 1. jest sformułowane nieprawidłowo. Jaś i Małgosia nie mogą mieć takiej samej liczby sióstr, skoro są rodzeństwem. Bez względu na liczbę ich wspólnych sióstr, Jaś ma o jedną siostrę więcej - Małgosię właśnie.

Jeżeli trzeci aktor ma czarny kapelusz, a pierwszy i drugi białe, to drugi nie jest w stanie ustalić koloru własnego kapelusza. Wie, że pierwszy widzi co najmniej jeden czarny kapelusz, ale nie wie, czy nie widzi dwóch: na głowie trzeciego (na której on również go widzi) i na jego własnej. Tak więc drugie z proponowanych przez ciebie rozwiązań nie spełnia warunków zadania.

Jeżeli trzeci aktor ma czarny kapelusz, a pierwszy i drugi białe, to drugi nie jest w stanie ustalić koloru własnego kapelusza. Wie, że pierwszy aktor widzi co najmniej jeden czarny kapelusz, ale nie wie, czy nie widzi dwóch: na głowie trzeciego (na której on również go widzi) i na jego własnej. Tak więc zaproponowane przez ciebie rozwiązanie nie spełnia warunków zadania. Aby je zdyskwalifikować, nie trzeba - jak to czyni idrill - zakładać, że trzeci aktor podzieliłby się w takim wypadku swoją wiedzą z pozostałymi. Założenie, że będzie milczał, widząc dwa białe kapelusze, twojej propozycji nie ratuje.

Z kontekstu jasne jest, że chodzi o ich wspólne siostry (inaczej zdanie to byłoby rzeczywiście sprzeczne). Podobnie można przecież powiedzieć "mają dwa samochody" i znaczy to, że mają je wspólnie, a nie po dwa!