Zad. 1. Ile różnych reszt dają kwadraty liczb całkowitych, n2 przy dzieleniu przez n+4?
Zad. 2. Na okręgu o promieniu 4 wybrano punkty A, B, C w taki sposób, że kąt ABC ma miarę 45°. Jaką długość ma cięciwa AC?
Zad. 3. Strona książki formatu 30 cm × 40 cm ma dwucentymetrowe marginesy wzdłuż każdej krawędzi. Jaki procent powierzchni strony nie może być zadrukowany?
Z 81 nadesłanych odpowiedzi tych ocenionych na maksymalne 3 pkt była prawie dokładnie 1/3. Ich autorzy to: Filip Barański, Patrycja Bartyzel, Krzysztof Bednarek, Antonina Biela, Łukasz Bożyk, Szymon Budzyński, Ewelina Durkalec, Piotr Dzierza, Jakub Gronowski, Karol Kaszuba, Agata Kuć, Antoni Machowski, Jakub Mańkowski, Adrianna Motyka, Katarzyna Mularczyk, Bartłomiej Polcyn, Dawid Przystupski, Paulina Schaefer, Marcin Sidorowicz, Adrian Słodziński, Kamil Szczepański, Artur Szewczyk, Łukasz Świerczyński i Weronika Trzeciak.
Po 2,5 pkt za rozwiązania otrzymali: Jędrzej Borowczak, Daria Bumażnik, Antoni Kamiński, Karolina Krzykawiak i Martyna Pytowska.
Wszystkim gratulujemy i życzymy dalszych sukcesów w Lidze!
Zad. 1. n2=(n+4)(n-4)+16, więc n2 daje przy dzieleniu przez n+4 taką samą resztę jak 16. Dla n=0, 1, 2, ..., 12 tymi resztami są kolejno: 0, 1, 4, 2, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, a n>12 dają n+4>16, więc resztą ze wszystkich dalszych dzieleń jest 16. Odpowiedzią jest zatem 9. (Zauważmy przy okazji, że odpowiedź "nieskończenie wiele", jakiej udzieliło sporo Ligowiczów, jest w tego typu zadaniach na pewno nieprawidłowa - reszt z dzielenia przez konkretną liczbę naturalną k jest przecież tylko k).
Zad. 2. Oznaczmy środek tego okręgu przez O. Z równoramienności trójkątów AOB i BOC mamy: [tex]|\angle AOB|=180^\circ-2|\angle ABO|[/tex] i [tex]|\angle BOC|=180^\circ-2|\angle CBO|[/tex]. Jeśli O leży wewnątrz kąta ABC, to z kolei [tex]|\angle AOC|=360^\circ-(|\angle AOB|+|\angle BOC|)[/tex], co da w takim razie [tex]2(|\angle ABO|+|\angle CBO|)=2|\angle ABC|[/tex], i ten sam rezultat osiągniemy dla innych położeń punktów A, B, C i O względem siebie (gdy O wypadnie na ramieniu lub na zewnątrz kąta ABC - wówczas powyższe rachunki albo się uproszczą, albo jeden z kątów zamiast dodawać trzeba będzie odejmować). Udowodniliśmy właśnie tzw. twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym. W naszym przypadku daje ono wniosek, że kąt AOC jest prosty, czyli łuk ABC to 3/4 okręgu, a cięciwa AC ma z twierdzenia Pitagorasa długość 4√2.
Zad. 3. Zadrukować można prostokąt 26 cm × 36 cm, którego pole stanowi 26·36/1200·100% = 78% powierzchni całej kartki. Odpowiedź to zatem 22%.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
