Zad. 1. Jak można obliczyć pole "soczewki" będącej częścią wspólną dwóch kół o promieniu 1, których środki są odległe o 1?
Zad. 2. Jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia |x|+|x+2012|+|x+2013| dla x rzeczywistych? Uzasadnij!
Zad. 3. Uzasadnij, że wśród dowolnych siedmiu liczb naturalnych znajdą się dwie o różnicy kwadratów podzielnej przez 10.
Najwięcej trudności sprawiło Ligowiczom zadanie 2 - podawane uzasadnienia były błędne lub niekompletne albo nie było ich wcale. Nie jest np. rozwiązaniem odpowiedź typu "2013, bo nigdy nie wyjdzie mniej" - zadanie polegało właśnie na udowodnieniu tego faktu! Niektórzy przeprowadzali mniej lub bardziej poprawny dowód tylko dla liczb całkowitych. Komplet 3 pkt zdobyło tylko sześcioro zawodników: Igor Chełstowski, Bartosz Czyżewski, Przemysław Kasprzyk, Aleksandra Polcyn, Tomasz Stempniak i Michał Turniak. Po 2,5 pkt przyznaliśmy: Krzysztofowi Bednarkowi, Darii Bumażnik, Adrianowi Czuchajowi, Rafałowi Felczyńskiemu, Mieszkowi Gałatowi, Zuzannie Gołębskiej, Annie Gudełajtis, Krzysztofowi Jopkowi, Grzegorzowi Krawcowi, Annie Łeń, Klaudii Marcinkiewicz, Markowi Mieńkowi, Łukaszowi Pięcie, Łukaszowi Ptakowi, Natalii Romek, Mateuszowi Rzepeckiemu oraz Wojciechowi Wiśniewskiemu.
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. Soczewkę taką można złożyć z wycinka jednego z danych kół o kącie 120° i dwóch odcinków tych kół odciętych cięciwą długości 1. Pole takiego wycinka to 1/3 pola koła, czyli π/3, a pole opisanych odcinków można wyznaczyć jako różnicę pól wycinka o kącie 60° i trójkąta równobocznego o boku długości 1, czyli π/6–√3/4. Ostatecznie szukane pole to 2π/3–√3/2.
Zad. 2. Oznaczmy dane wyrażenie przez f(x) i zauważmy, że jest to suma odległości liczby x od liczb 0, -2012 i -2013 na osi liczbowej. f(-2012)=2013, natomiast dla x na lewo od -2012 wartości f(x) są większe, ponieważ w miarę oddalania się x od -2012 wartości |x| i |x+2012| rosną, a |x+2013| maleje tylko pomiędzy -2012 a -2013, lecz malenie to jest równe wzrostowi |x+2012| (bo suma odległości od -2012 i od -2013 jest w tym przedziale stale równa 1). Podobnie na prawo od -2012: |x+2012| i |x+2013| dają coraz większe wartości, a malejące tylko do x=0 wartości |x| są równoważone przez wzrost |x+2012|. Szukaną wartością minimalną jest zatem 2013.
Zad. 3. Kwadraty liczb naturalnych dają przy dzieleniu przez 10 cyklicznie reszty 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 i 1. Jest to sześć różnych liczb, więc wśród siedmiu liczb kwadraty którychś dwóch muszą dawać tę samą.
