Zad. 1. Wierzchołki kwadratu k1 leżą na bokach kwadratu jednostkowego i dzielą je w stosunku 1:3. Wierzchołki kwadratu k2 leżą na bokach k1 i dzielą je w stosunku 1:3.
Analogicznie położone są kwadraty k3, k4, ..., k100. Jakie jest pole k100?
Zad. 2. Czy istnieje liczba pierwsza, której 2012% jest liczbą naturalną? Uzasadnij!
Zad. 3. Ile przekątnych ma antygraniastosłup 100-kątny?
Za rozwiązania zadań listopadowych komplet 3 pkt zdobyło siedmioro Ligowiczów: Wiktor Baranowski, Daria Bumażnik, Igor Chełstowski, Marek Mieniek, Tomasz Stempniak, Michał Turniak i Wojciech Wiśniewski. Dalszych troje (Rafał Felczyński, Klaudia Marcinkiewicz i Bartek Wierzbicki) uzyskało po 2,5 pkt.
W sumarycznym rankingu po dwóch miesiącach Ligi 2012/13 prowadzą:
-
z 6 pkt (na 6 możliwych) - Igor Chełstowski, Tomasz Stempniak i Michał Turniak,
-
z 5,5 pkt - Daria Bumażnik, Marek Mieniek i Wojciech Wiśniewski,
-
z 5 pkt - Bartosz Czyżewski, Rafał Felczyński, Klaudia Marcinkiewicz i Aleksandra Polcyn.
Gratulujemy wszystkim!
Zad. 1. Z kwadratu jednostkowego można otrzymać k1, odcinając w narożach cztery przystające trójkąty prostokątne o polu ½·¼·¾ = 3/32. Pole k1 to zatem 5/8. Ponieważ analogicznie z k1 można otrzymać k2 itd., k100 ma pole (5/8)100.
Zad. 2. 2012%p = [tex]20\frac{3}{25}p[/tex], co jest liczbą naturalną tylko przy p podzielnych przez 25, a to jest niemożliwe, jeśli p to liczba pierwsza.
Zad. 3. Przekątna wielościanu to odcinek łączący wierzchołki nieleżące na jednej ścianie. Z każdego ze 100 wierzchołków górnej podstawy wychodzi zatem 98 przekątnych i są to wszystkie przekątne danego antygraniastosłupa, jest ich więc 9800.
