Zad. 1. Sześciokąt SZKOŁA powstał przez połączenie środków kolejnych boków sześciokąta foremnego o boku 1. Jakie pole ma SZKOŁA?
Zad. 2. Z cyfr 2, 0, 1, 3 (używając ich w dowolnej kolejności) ułóż potęgę o możliwie największej wartości. Uzasadnij, że jest ona największa.
Zad. 3. Ile liczb rzeczywistych spełnia równanie x111+x222+x333 = 2013/2014 ? Uzasadnij!
Październikowe zadania okazały się trudne. Wielu Ligowiczów nie podawało pełnych uzasadnień w zad. 2 i 3, a w zad. 3 sporo podanych rozumowań było błędnych. Zwracamy też uwagę, że nie uznajemy za dowód wykresów ani wyników bez wyjaśnienia sposobu ich uzyskania (jeśli nie jest on oczywisty, tzn. np. gdy chodzi o wielomiany wyższych stopni, logarytmy o wartościach niewymiernych czy blisko stucyfrowe potęgi).
Komplet 3 pkt przyznaliśmy tylko Robertowi Czwartoszowi z LO w Trzebnicy i Tomaszowi Stempniakowi z I LO w Ostrowie Wlkp.
2,5 pkt zdobył Marcin Korona z XIV LO w Warszawie, a po 2 pkt - Krzysztof Bednarek z III LO we Wrocławiu i Piotr Dzierza z XIII LO we Wrocławiu.
Wszystkim gratulujemy!
Zad. 1. SZKOŁA jest sześciokątem foremnym, który można rozłożyć na sześć trójkątów równobocznych o boku będącym wysokością analgocznych trójkątów składających się na wyjściowy sześciokąt foremny. Szukane pole to zatem 6·a2√3/4, gdzie a=√3/2, więc odpowiedź to 9√3/8.
Zad. 2. Cyfry zero i jeden nie powinny być wykładnikami ani podstawami, bo zawsze bardziej opłaca się dopisać je jako cyfry jedności do występującej w działaniu liczby. Z potęg "jednopiętrowych" "do wyboru" są zatem potęgi liczby 2 (z których największą jest 2310), 3 (z których największą jest 3210), 10 (z których największą jest 1032), 20 (z których największą jest 2031), 30 (z których największą jest 3021) oraz liczby 2130, 3120, 3210, 3102 i 2103. Ponieważ nawet 31032<(29)32<2310<2312<8104<(32)104<3210, wystarczy porównać tę ostatnią z potęgami dwupiętrowymi, a z tych kandydatami na największą są: [tex]3^{2^{10}}[/tex], [tex]3^{10^2}[/tex], [tex]2^{3^{10}}[/tex], [tex]2^{10^3}[/tex], [tex]10^{3^2}[/tex] i [tex]10^{2^3}[/tex], czyli 31024, 3100, 259049, 21000 oraz 109 i 108. Ostatnie dwie są mniejsze niż 1032, więc największa wartość to 31024 albo 259049 i ponieważ 24>32, łatwo widać, że odpowiedzią jest [tex]2^{3^{10}}[/tex].
Zad. 3. Dla x<-1 ujemność x333 przeważa nad dodatniością x222 (formalnie: |x333| > |x222|), a x111 jest ujemne, więc dane równanie nie ma takich rozwiązań. Podobnie dla x z przedziału <-1, 0) (wówczas x222 nie przeważy x111, a x333 jest ujemne). Dla x≥0 wyrażenie dane w zadaniu jest funkcją rosnącą i przyjmuje wartości od 0 do nieskończoności, więc przyjmuje wartość 2013/2014 raz i taka jest odpowiedź.
