Zad. 1. Czworokąt LIŚĆ jest kwadratem o polu 1. W jego wnętrzu, na okręgu o środku Ć i promieniu 1, w odległości 0,5 od I leży punkt N. Oblicz pole prostokąta PION, jeśli O i P leżą na brzegu kwadratu LIŚĆ.
Zad. 2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c, d liczba (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) dzieli się przez 12.
Zad. 3. Przez F oznaczmy ciąg Fibonacciego. Podaj przykład liczb naturalnych x, y, m, n,
takich że xFm+yFn jest resztą z dzielenia 3F2013 przez 2F2012.
Zadania listopadowe nie były łatwe. Pełne 3 pkt za nadesłane rozwiązania uzyskali tylko Robert Czwartosz, Piotr Dzierza i Tomasz Stempniak.
W czołówce Ligi są:
- z 6 pkt (na 6 możliwych!) - Robert Czwartosz z LO w Trzebnicy i Tomasz Stempniak z I LO w Ostrowie Wlkp.,
- z 5 pkt - Piotr Dzierza z XIII LO we Wrocławiu,
- z 4,5 pkt - Marcin Korona z XIV LO w Warszawie,
- z 3,5 pkt - Krzysztof Bednarek z III LO we Wrocławiu.
Gratulujemy!
Zad. 1. Jeśli długości boków prostokąta PION oznaczymy przez x i y, to x2+y2 = NI2 = (1/2)2, natomiast z położenia N na opisanym w zadaniu okręgu mamy ponadto: (1-x)2+(1-y)2 = 12. Po odjęciu tych równań stronami otrzymamy 2x+2y-2=-3/4, skąd x+y=5/8, co z kolei po podniesieniu do kwadratu daje x2+y2+2xy =25/64, skąd ponieważ x2+y2 = (1/2)2, dostaniemy xy=9/128.
Zad. 2. Wśród czterech liczb całkowitych istnieją dwie (lub więcej) o tej samej reszcie z dzielenia przez 3, zatem co najmniej jedna z liczb (więc i ich iloczyn) a-b, a-c, a-d, b-c, b-d, c-d dzieli się przez 3. Jeśli wśród liczb a, b, c, d powtarza się również pewna reszta z dzielenia przez 4, to podobnie - dany w zadaniu iloczyn dzieli się przez 4, więc zachodzi teza. Jeśli natomiast a, b, c i d dają różne reszty, to dwie z tych liczb są parzyste, a dwie nie, zatem różnice pierwszych dwóch i drugich dwóch są parzyste, więc ich iloczyn (zatem i cały iloczyn dany w zadaniu) dzieli się przez 4, co kończy dowód.
Zad. 3. 3F2013 = 3F2012+3F2011 = 3F2012+2F2011+F2010+F2009 = 4F2012+F2011+F2009,
a ponieważ F2011+F2009 < F2012, jest to reszta, o którą chodzi w zadaniu,
czyli niewiadome mogą przyjąć wartości: x=y=1, m=2011, n=2009.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
