Zad. 1. Sylwia przygotowuje się do sprawdzianu z matematyki. Naukę rozpoczęła kilka minut po 17, a zakończyła przed 18. Gdy rozpoczynała i kończyła naukę, wskazówki zegara (minutowa i godzinowa) tworzyły kąt 110°. Ile minut poświęciła na naukę?
Zad. 2. Uczniów biorących udział w teście do Olimpiady Matematycznej Juniorów należy rozmieścić w salach po równo, tak by w każdej sali były nie więcej niż 32 osoby. Kiedy w salach usadzono po 22 osoby, dla jednego zawodnika zabrakło miejsca. Kiedy z jednej sali zrezygnowano, miejsc wystarczyło dla wszystkich. Ilu zawodników wzięło udział w olimpiadzie oraz w ilu salach pisali test?
Zad. 3. Czy istnieją liczby naturalne m, n, k różne od zera spełniające równanie 18m . 24n = 12k? Odpowiedź uzasadnij.
W październiku punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Maksymilian Skica G-Akademickie PWr, Wiktoria Cymerman G-Europejskie Zgorzelec, Joanna Galik SP 5 Wrocław, Mateusz Kotarba SP 2 Świątniki Górne, Piotr Zug SP 1 Borki Wielkie, Jerzy Wąsiewicz Publiczna Katolicka SP Magdalenka, Gabriela Pietras PSP Leszczyna, Hubert Bączyk G 1 Swarzędz, Marta Sibielec G 48 Wrocław, Oliwer Rum PG 1 Głogówek, Mateusz Gosztyła SP 5 Wrocław, Laura Stefanowska G Legnica i Igor Wojtasik SP11 Jelenia Góra;
- 2 pkt. – Kosma Kasprzak G 58 Poznań, Kuba Domagała;
- 2,5 pkt – Wojciech Szwarczyński PSP Kowalowa, Kacper Woszczek PSP Mieroszów, Agata Lefler ZSS Wołów, Tomasz Lefler ZSS Wołów;
- 1,5 pkt. – Maksymilian Szczepaniak SP Siechnice, Patrycja Zakrzewska G Tuchola;
- 1 pkt. – Bartosz Nodzak SP 152 Łódź, Angelika Goska G Rzeczyca, Jan Podlasek G Rzeczyca, Jakub Perek G Rzeczyca, Paweł Gawroński.
Zad. 1. Niech t oznacza czas w minutach.
W ciągu minuty wskazówka godzinowa obraca się o kąt 360o/(12 ∙ 600) = 0,5o.
Jeśli zegar chodzi jednostajnie, to w ciągu t minut wskazówka godzinowa obraca się o kąt α = t ∙ 0,5o.
W ciągu minuty wskazówka minutowa obraca się o kąt 360o/60 = 6o.
W ciągu t minut wskazówka minutowa obraca się o kąt β = t∙6o.
Ponadto β = 110o+α+110o, czyli t∙6o = 110o+ t∙0,5o + 110o,
skąd t = 40 i tyle minut Sylwia poświęciła na naukę.
Zad. 2. Przypuśćmy, że sal było k (≥2) oraz że po rezygnacji z jednej, w każdej z pozostałych k–1 sal umieszczono po n uczniów (≤32). Wszystkich uczniów biorących udział w olimpiadzie było z jednej strony 22k+1. Z drugiej strony uczniów było n(k–1). Mamy zatem równanie 22k+1 = n(k–1), stąd n = 22 +23/(k–1). Ponieważ n jest całkowite, k–1 musi być dzielnikiem 23, czyli być równe 1 lub 23. Zatem k=2 (wtedy n=45 i warunki zadania nie są spełnione) lub k=24. Wtedy w olimpiadzie wzięło udział 529 uczniów, przygotowano dla nich 24 sale, a ostatecznie pisali konkurs w 23 salach.
Zad. 3. Porównując rozkłady obu liczb na czynniki pierwsze, otrzymujemy 2m+3n . 32m+n = 22k . 3k, co wobec jednoznaczności rozkładu pociąga równość odpowiednich wykładników, czyli m+3n = 2k oraz 2m+n = k. Odejmując stronami równanie pierwsze od potrojonego drugiego, otrzymujemy 5m=k , co po wstawieniu do drugiego równania daje 2m+n = 5m, skąd n=3m. Przyjmując m=1, otrzymujemy n=3 oraz k=5. Zatem istnieją liczby m, n, k spełniające warunki zadania.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
