Zad. 1. Rozwiąż równanie 2x + 3 = 5y w parach liczb całkowitych.
Zad. 2. Wykaż, że w czworokącie wypukłym każdy kąt jest mniejszy od sumy pozostałych kątów.
Zad. 3. Przedstaw liczbę 0,32(12) w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych.
W październiku punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Mikołaj Bilski SP 6 Jelenia Góra, Gabriela Brzoza G Dwujęzyczne Góra, Anna Cichowska SP 14 Lubin, Michał Dźwigaj SP 1 Przemków, Joanna Galik SP 5 Wrocław, Jacek Jeczeń SP 28 Wałbrzych, Ewa Kaluś ???, Kosma Kasprzak G 58 Poznań, Hanna Laszkiewicz ZS Katolickich Jelenia Góra, Anna Piasecka G Ożarów Mazowiecki, Michał Plata SP 2 Syców, Aleksandra Strzelecka NSP Wilkowyja, Michał Węgrzyn SP 9 Wrocław,
- 2,5 pkt. - Wojciech Domin SP Pisarzowice, Ada Omińska Katolicka SP w Płock, Jakub Porada SP 95 Wrocław, Wojciech Raszczuk SP 4 Bolesławiec,
- 2 pkt. – Szymon Bar G 1 Głogówek, Wojciech Haładewicz SP Siechnice, Wiktoria Jaguszczak SP Grębocice, Oliwia Kęskrawiec Gimn. 1 Koronowo, Wiktoria Mróz SP Wyrzysk, Agata i Tomasz Lefler ZSS Wołów, Michał Leśkiewicz SP 17 Wrocław, Michał Pędzisz SP 17 Wrocław, Cezary Rębiś ZSO w Jedlnia-Letnisko, Karol Rybski SP Wola Taczowska, Marta Sibielec G 48 Wrocław,
- 1 pkt. - Adam Chowanek SP Mieroszów, Maja Frankowska SP 3 Lubin, Jakub Muszyński SP 17 Wrocław, Amadeusz Rozmus SP 7 Ełk, Kacper Woszczek SP Mieroszów.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Rozważmy przypadki ze względu na wartość x.
a) Jeśli x≤-1, to równanie jest sprzeczne, bo lewa strona ma niezerową zarówno część całkowitą jak i ułamkową, zaś prawa strona ma niezerową tylko jedną z nich.
b) Jeśli x=0, to otrzymujemy równanie 4 = 5y, które także jest sprzeczne (dla y nieujemnych na mocy zasadniczgo twierdzenia arytmetyki, a dla y ujemnych prawa strona jest dodatnia mniejsza od 1).
c) Jeśli x=1, to mamy równanie 5 = 5y, które ma rozwiązanie, gdy y = 1.
d) Jeśli x≥2, to równanie jest znowu sprzeczne, bo lewa strona jest liczbą postaci 22.2x–2+3 = 4·2x–2+3, czykli daje resztę 3 z dzielenia przez 4, zaś prawa strona jest albo dodatnia mniejsza od 1, albo potegą piątki i wtedy daje resztę 1 z dzielenia przez 4, bo 5n = (4+1)n.
Równanie ma więc dokładnie jeden pierwiastek w parach liczb całkowitych (1, 1).
Zad. 2. Załóżmy nie wprost, że w czworokącie wypukłym jest taki kąt, którego miara α jest nie mniejsza od sumy miar pozostałych kątów, tzn. zachodzi α ≥ β+γ+δ. Wtedy 2α ≥ β+γ+δ, czyli 2α ≥360°, α ≥180º. Przeczy to wypukłości czworokąta. Tym samym teza zadania została udowodniona.
Zad. 3. Niech x = 0,32(12), y = 0,(12). Wtedy mamy układ równań 100x = 32+y i 100y = 12+y. Stąd otrzymujemy y = 4/33 oraz x = 53/165.
Pytanie
Zobaczyłam rozwiązania. W zadaniu 1 z października w równaniu pojawiły się dwie niewiadome x i y, zaś w początkowej wersji była jedna niewiadoma x. Czy później pojawiła się jakaś modyfikacja? Ja wysyłałam rozwiązania na początku miesiąca.