Zad. 1. Wskaż przykład lub udowodnij, że nie istnieje przykład rosnącego ciągu arytmetycznego liczb naturalnych nie zawierający sześcianu żadnej liczby naturalnej, lecz zawierający nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych.
Zad. 2. Niech P i Q będą rzutami prostokątnymi dowolnego punktu M z wnętrza kąta o wierzchołku A na jego ramiona. Z A prowadzimy prostopadłą do PQ półprostą, która przecina PQ w punkcie K. Udowodnij, że kąty PAK i MAQ mają równe miary.
Zad. 3. Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniają a²+b² = cd oraz c²+d²= ab, to a=b=c=d=0.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- Jan Kropidłowski (III LO Wrocław) 30=10+10+10,
- Mateusz Jagoda (ZSO Kluczbork) 28=10+ 8+10,
- Danuta Wroniszewska (I LO Jelenia Góra) 16=0+10+6,
- Szymon Michalik (XIV LO Warszawa) 10=0+10+0.
Gratulacje!
Zad. 1. Sześciany liczb naturalnych przystają do 0, 1 lub 6 modulo 7. Rozważmy zatem ciąg 7k+2 dla k = 0, 1, ... Ciąg ten nie może zawierać sześcianów, gdyż każdy jego element przystaje do 2 modulo 7. Wykażmy więc, że zawiera nieskończenie wiele kwadratów. Niech km = 7m2 + 6m + 1, dla m = 0, 1, ... Wówczas 7km + 2 = 7(7m2+6m+1)+2 = (7m+3)2.
Zad. 2. Na AQMP można opisać okrąg, stąd kąty QPA i QMA mają równe miary. Oba te kąty występują w trójkątach prostokątnych AKP i AMQ, stąd teza.
Zad. 3. Załóżmy, że żadna z liczb nie jest równa 0. Liczby a i b muszą mieć ten sam znak, podobnie jak c i d. Możemy przyjąć, że wszystkie są dodatnie, bo inaczej można by zastąpić je ich wartościami bezwzględnymi. Ponownie bez straty ogólności możemy przyjąć, że a≤b, c≤d oraz a≤c. Wtedy a2 ≤cd, a stąd a2+b2 ≤ cd+b2 > cd i otrzymaliśmy sprzeczność.
