Zadanie 1. Oblicz pole trapezu, w którym przekątne mają długości 3 i 5, a odcinek łączący środki podstaw ma długość 2.
Zadanie 2. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną AB z wierzchołka C ma długość h. Niech D oznacza spodek tej wysokości, a M i N środki odcinków AD i DB. Oblicz odległość wierzchołka C od ortocentrum trójkąta CMN (ortocentrum to punkt przecięcia wysokości trójkąta).
Zadanie 3. Prosta przechodząca przez pewien wierzchołek trójkąta dzieli go na dwa inne trójkąty. Wykaż, że środki okręgów opisanych na wszystkich trzech trójkątach oraz wyjściowy wierzchołek trójkąta leżą na jednym okręgu.
W tym miesiącu maksymalną liczbę punktów zdobyli: Tadeusz Porzucek (emeryt, Gostyń), Krzysztof Sobków (nauczyciel, II LO Opole) oraz Arkadiusz Wróbel (student, Brwinów). Czołówka Ligi to panowie: Krzysztof Sobków 118 pkt, Arkadiusz Wróbel 118 pkt. oraz Jacek Bagiński (nauczyciel, I LO Kraków) 116 pkt. Gratulacje!
Zadanie 1
Niech CK będzie równoległe do DB. Wówczas pola trójkątów ADC i BKC są równe (jednakowe podstawy i opuszczone nań wysokości). Stąd pole trapezu ABCD jest równe polu trójkąta AKC. Niech CH jest równoległe do EF. Zauważmy, że CH jest środkową w trójkącie AKC, bowiem
AK = AB+BK = AB+DC oraz AH= AF+FH =1/2AB+EC =1/2AB + 1/2DC = 1/2(AB+DC) = 1/2AK.
Stosując wzór na długość środkowej trójkąta (*), otrzymujemy AK=√52. Stosując wzór Herona (**), otrzymujemy, że pole trójkąta AKC
(a więc i szukane pole trapezu) wynosi 6.
(*) Twierdzenie o środkowej trójkąta
W trójkącie o bokach długości a, b, c długość środkowej opuszczonej na bok c wynosi [tex]s=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.[/tex]
(**) Wzór Herona
Pole trójkąta o bokach długości a, b, c wynosi [tex]P=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}.[/tex]
Zadanie 2
Z podobieństwa trójkątów ADC i CDB (cecha kkk) mamy CD2 = AD·DB. Stąd CD2 = 2MD·2DN = 4MD·DN, czyli MD·DN = 1/4CD2. Zauważmy, że trójkąty MHD i CDN są podobne (z cechy kk - oba są prostokątne i mają jednakowe kąty ostre MHD i DNC, bowiem ∡MHD=∡CHK=90°-∡HCK=90°-∡DCN=∡DNC ). Zatem CD/DN = MD/HD.
Stąd HD = (MD·DN)/CD = 1/4CD, czyli CH = 3/4CD = 3/4h.
Zadanie 3
Niech O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a O1 i O2 są środkami okręgów opisanych na trójkątach powstałych z podziału tego trójkąta linią CD. Niech M1 i M2 oznaczają środki boków odpowiednio BC i AC. Oznaczmy miarę kąta CDB przez φ. Wówczas kąt CO2M1 ma miarę 180°-φ (bo jest połową kąta środkowego opartego na łuku CDB, na którym opiera się też kąt wpisany dopełniający φ do 360°). Kąt CO1M2 ma także miarę 180°-φ (bo jest połową kąta środkowego opartego na łuku CA, na którym opiera się też kąt wpisany dopełniający φ do 180°). Oznacza to, że suma miar kątów CO2O i CO1O wynosi 180°, a to oznacza, że czworokąt CO1OO2 jest wpisywalny w okrąg, co należało wykazać.
Tradycja bożo-narodzeniowych jarmarków we Wrocławiu sięga XVI wieku. Jedną z ich atrakcji bywała dawniej "legnicka bomba". Co to było? 
