Zad. 1. Średnia arytmetyczna siedemnastu kolejnych liczb naturalnych stanowi 112,5% najmniejszej z tych liczb. Jaki procent największej z nich stanowi ta średnia?
Zad. 2. Zegar wskazuje godzinę 9.30, jednak począwszy od dwunastej w nocy, kiedy go nastawiono na dokładną godzinę, przez połowę czasu wskazówki przesuwały się dwa razy szybciej niż powinny, a przez drugą połowę - dwa razy wolniej. Która godzina jest w rzeczywistości?
Zad. 3. Ania wypisywała liczby naturalne, zaczynając od 1. Zapisała w sumie 2022 cyfry. Jaka jest ostatnia pełna liczba, którą zapisała?
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 – Mateusz Antkiewicz SP 3 Cieszyn, Monika Budzeń SP 7 Leszno, Artur Bumażnik SP 1 Piechowice, Mateusz Galik SP Arka, Mateusz Koba SP 3 Cieszyn, Michał Licznarowski SP 66 Warszawa, Paweł Lisztwan SP 3 Mikołów, Dominika Miturska SP 66 Warszawa, Aniela Przystał SP Ciechów, Wojciech Rachwał SP 2 Wieliczka, Oliwia Stańczyk SP Aslan Głogów, Igor Sudyka SP 2 Jasło, Alicja Szwarczyńska SP Kowalowa, Kacper Wereszczyński SP Mieroszów, Dominika Wojdacz SP 11 Inowrocław, Miłosz Zakrzewski SP Gostycyn, Amelia Żuczek SP 2 Wieliczka;
- 2 – Faustyna Doliwka SP Łobżenica, Aleksander Kiszkowiak SP 66 Warszawa, Amelia Koczara SP 2 Wieliczka, Kacper Kozak SP Tyniec Mały, Joanna Nowakowska SP 3 Głogów, Wiktoria Pietrzak SP 3 Głogów, Oliwia Raszewska SP 6 Boguszów-Gorce, Radosław Wypych SP 3 Mikołów;
- 1 – Maciej Hryniewicz SP 9 Gliwice, Adrian Jasiński SP 42 Wrocław, Klara Kogut SP 9 Gliwice, Arkadiusz Piwowarczyk SP 14 Ostrowiec Świętokrzyski, Bartosz Podlak SP 3 Cieszyn, Anastasia Yakovleva SP 3 Mogilno.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Niech x oznacza najmniejszą z siedemnastu liczb. Wówczas x+16 jest największą z tych liczb, a [x+(x+1)+(x+2)+…+(x+16)]:17 = (17x+136):17 = x+8 jest ich średnią. Wiemy, że [tex] \frac{x+8}{x}=\frac{112,5}{100}[/tex], skąd x=64. Mamy teraz [tex] \frac{64+8}{64+16}=\frac{72}{80}[/tex]= 0,9, czyli odpowiedź to 90%.
Zad. 2. Według wskazań zegara od północy minęło 9 h 30 min = 570 min. Oznaczmy przez x połowę rzeczywistego czasu, jaki upłynął od północy. Otrzymujemy równanie 2x + ½ x = 570, skąd x = 228. Rzeczywisty czas jaki upłynął to 228.2 = 456 min = 7 h 36 min, czyli jest godzina 7:36.
Zad. 3. Liczb jednocyfrowych (zaczynając od 1) jest 9, liczb dwucyfrowych jest 99–9 = 90, a trzycyfrowych 999–99 = 900. Do zapisania tych liczb potrzebnych jest 9+180+2700 = 2889 cyfr. Ania wykorzystała 2022 cyfry, czyli 2889–2022 = 867 cyfr zostało niewykorzystanych. Za ich pomocą można zapisać 867:3 = 289 liczb trzycyfrowych. Ostatnia liczba trzycyfrowa to 999 (i tyle samo jest wszystkich liczb jedno-, dwu- i trzycyfrowych razem). Ponieważ 999–289 = 710, więc ostatnia pełna liczba, którą zapisała Ania, to 710.
