Monotoniczność

Mówiąc po prostu o monotoniczności funkcji, zawsze myślimy o monotoniczności na dziedzinie, ale można przecież pytać o monotoniczność na dowolnym zbiorze (nawet niekoniecznie takim, na którym ta funkcja jest określona). Nie rozumiem więc, gdzie tkwi problem. Oczywiście funkcja 1/x nie jest malejąca, bo nie spełnia warunku malejącości np. dla punktów -1 i 1 z dziedziny, a powinna spełniać stosowną implikację dla dowolnych punktów z dziedziny. Natomiast jest malejąca na zbiorze {1, 2, 3}, bo dla dowolnych dwóch liczb z tego zbioru spełnia stosowną implikację. Oczywiście z tego samego powodu jest malejąca na zbiorze pustym lub na zbiorze {0, 1} czy [0, 1]. To bardzo fajne pytanie dla uczniów, ćwiczące rozumienie definicji monotoniczności.

Definicja monotoniczności, którą znam, odnosi się do dziedziny funkcji. Jeśli w dziedzinie i w zbiorze wartości funkcji zdefiniowane są relacje porządkujące te zbiory, to dopiero wtedy możemy coś wymyślać nt. monotoniczności. Nieszczęśliwie w szkole definiuje się dodatkowo monotoniczność funkcji "obcinając" ją do przedziału (spójnego podzbioru zbioru R). Nieszczęśliwie, bo zdefiniowanie monotoniczności dla dowolnego podzbioru dziedziny nie ma większego sensu dla matematyka. Zauważmy, że jeśli funkcja nie jest monotoniczna, to można sobie wybrać różne podzbiory dziedziny, w których będzie ona rosnąca, malejąca lub nawet stała. Zatem widać, że praktyczne znaczenie monotoniczności ma sens tylko wtedy, gdy bierzemy pod uwagę całą dziedzinę funkcji. Z tym pojęciem związanych jest bardzo dużo błędów dydaktycznych i ten artykuł, moim zdaniem, jest jednym z nich. Czy istnieje funkcja, której dziedzina jest zbiorem pustym? Tak, istnieje i na dodatek jest zawsze monotoniczna (i rosnąca, i malejąca, i stała) niezależnie od zdefiniowanego porządku w dziedzinie. Prawda, że dziwne?!

Nie rozumiem intencji autora poprzedniego komentarza. Tym bardziej, że nie podaje żadnych konkretnych argumentów "za" ani "przeciw". Niby zgadza się z poprzednim wpisem, że standardowo monotoniczność określana jest na dziedzinie funkcji, ale nie dopuszcza innych możliwości definiowania tej własności. Tymczasem żaden matematyk nie będzie miał żadnego problemu ze zdefiniowaniem monotoniczności na dowolnym podzbiorze dziedziny. Funkcja na zbiorze jest np. rosnąca, jeśli dla dowolnych argumentów z tego zbioru nierówność między nimi zachowuje się na wartościach. Oczywiście że wtedy funkcja niemonotoniczna na dziedzinie może być np. malejąca na pewnym zbiorze, np. funkcja 1/x (niemonotoniczna) jest malejąca na przedziale (0, inf). Nie widzę w tym nic dziwnego ani zdrożnego, ani niepraktycznego. Nie rozumiem też dlaczego zadawanie uczniom nie do końca oczywistych pytań ma być "błędem dydaktycznym". Na tym wszak, drogi ZbiGu, polega nauczanie matematyki - nie na wyuczeniu się definicji na pamięć, ale na ich rozumieniu. A takie pytania pogłębiają właśnie poprawne rozumienie definicji.