Ćwiczenia ze wstążką

Jest to temat na samodzielną pracę badawczą ucznia z matematyki, do wykonania indywidualnie lub w grupie. Obejmuje zagadnienia topologiczne dotyczące powierzchni, jednak ze względu na eksperymentalny charakter zadań, do jego realizacji nie jest potrzebna żadna zaawansowana wiedza. Projekt może być realizowany na wszystkich poziomach edukacyjnych (wtedy praca w różnym stopniu będzie wyczerpywać temat). Proponowane zagadnienia mogą być poszerzone o własne propozycje pytań i problemów.

Wstęga Möbiusa to prostokątny pasek papieru ze sklejonymi węższymi końcami, ale przed sklejeniem jeden z tych końców trzeba odwrócić o 180°. Wykonaj model takiej powierzchni, przyjrzyj się jej. Czy zauważasz jakieś ciekawe własności?

O ciekawych zastosowaniach i związkach ze sztuką tej niezwykłej powierzchni możesz przeczytać na portalu w artykułach: Zastosowania wstęgi Möbiusa, Dzieła ze wstęgi Möbiusa, Recycling jest błędny. Tym razem zapraszamy do wykonania rozmaitych eksperymentów ze wstęgą i zbadania jej matematycznych własności.

1. Pomaluj farbami podłużny pasek papieru, nie przekraczając jego brzegu. Po pomalowaniu zostanie z jednej strony biały. To dlatego, że prostokąt jest powierzchnią dwustronną. Weź nowy pasek i sklej jego wąskie boki, tak by otrzymać powierzchnię boczną walca. Pomaluj ją znowu nie przekraczając brzegu. Sprawdź, czy jedna strona zostanie biała. Pomaluj teraz wstęgę Möbiusa, uważając, by nie przekroczyć brzegu kartki. Czy pasek pozostał gdzieś biały? Ile stron ma powierzchnia walca, a ile wstęga Möbiusa?

2. Na wstędze Möbiusa zaznacz dowolne dwa punkty, a następnie połącz je linią biegnącą po powierzchni wstęgi i nie przecinającą jej brzegu. To samo doświadczenie powtórz na powierzchni walca. Sprawdź, czy możesz połączyć punkty leżące na różnokolorowych stronach tej powierzchni, linią nie przekraczającą krawędzi brzegu. 

3. Wykonaj model powierzchni bocznej walca. Narysuj linię pośrodku tego paska. To samo powtórz na modelu wstęgi Mobiusa. Co zauważyłeś? Wykonaj z papieru papierowe wstęgi, które przed sklejeniem końców skręć więcej razy. Taką powierzchnię o k skręceniach nazwiemy wstęgą Möbiusa rzędu k. Narysuj kreskę dokładnie w połowie szerokości każdej wstęgi. Co zauważyłeś? 

4. Powierzchnia boczna walca (czyli wstęga o 0 skręceniach) ma brzeg składający się z dwóch rozłącznych okręgów. A co jest brzegiem wstęgi Möbiusa oraz wstęg wyższych rzędów, czyli skręconych przed sklejeniem więcej razy? Wykonaj wstęgę z papieru toaletowego, na brzegu zrób rulonik i przeciągnij przez niego cienki drut, a rulonik zaklej. Tam, gdzie sklejane są brzegi paska zaciśnij końce drutu. W ten sposób wyznaczy on brzeg wstęgi. Tak przygotowany model połóż na formie do pieczenia. Gdy wypali się papier, zbadaj jaki kształt ma pozostały drut.

5. Inny eksperyment prowadzący do wniosku, co jest brzegiem wstęgi Möbiusa, można obejrzeć na stronie http://www.youtube.com/watch?v=0vhLpy6nIPE. Jeśli masz do dyspozycji klocki magnetyczne, możesz go wykorzystać do badania brzegów wstęg wyższych rzędów. Możesz też zaprojektować jeszcze inne eksperymenty, które pomogą ci badać te brzegi.

6. Zbadaj, co jest brzegiem wstęg wyższych rzędów (o większej liczbie skręceń). Czy jest to okrąg, czy więcej okręgów? Czy można ten okrąg ułożyć na płasko, czy jest on w jakiś sposób zasupłany ze sobą? A może zasupłany jest też z innymi okręgami? Wykonaj szkice tych sytuacji i spróbuj je opisać. Czy zauważyłeś jakieś reguły?

7. Jeśli przetniemy prostokątną kartkę wzdłuż środkowej linii, rozpadnie się ona na 2 prostokąty. Jeśli powierzchnię boczną walca przetniemy wzdłuż linii poprowadzonej przez środek, rozpadnie się ona na 2 powierzchnie boczne walca. A na co rozpadnie się wstęga Möbiusa przecięta wzdłuż linii środkowej?

8. Przetnij wzdłuż linii narysowanych w połowie szerokości wstęgi różnych rzędów. Co zauważyłeś? Jak zachowanie wstęgi zależy od liczby jej skręceń? Czy rozcinana wstęga pozostaje w jednym kawałku, czy rozpada się na części? Jeśli się rozpada, to na ile części? Czy otrzymane części (jedna lub więcej) są wstęgami tego samego typu co wyjściowa? Jeśli części jest więcej, to czy są jednakowe między sobą? Czy części można oddzielić, czy są zaplątane? Jeśli są zaplątane, to w jaki sposób? Naszkicuj i opisz te sytuacje.

9. Co dzieje się, jeśli cięcie będzie biegło w 1/3 szerokości? A jeśli w 1/4? A jeśli wysokość cięcia dzieli szerokość wstęgi w innym stosunku? Co stanie się, jeśli ten stosunek będzie liczbą niewymierną?

10. Wyobraź sobie, że wstęgi różnych rzędów kroimy radełkiem - takim, jakiego używa się do krojenia pizzy - ale o 2 lub 3 ostrzach rozmieszczonych odpowiednio co 1/3 lub 1/4 szerokości paska papieru. Co stanie się ze wstęgą? Kiedy pozostanie ona w jednym kawałku, a kiedy rozpadnie się na części? Na ile części rozpadnie się i czy będą one wstęgami tego samego typu co wyjściowa? Czy wszystkie części będą jednakowe? Czy można je oddzielić, czy będą zasupłane i w jaki sposób? Ustal, w jaki sposób odpowiedzi zależą od rzędu wstęgi k i liczby ostrzy n radełka.

Jeśli zrealizujecie pracę projektową na przedstawiony tu temat, prześlijcie ją do nas (na płycie CD lub na papierze) na adres:
Redakcja Wrocławskiego Portalu Matematycznego
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
pl. Grunwaldzki 2/4, 50-384 Wrocław

Pochwalcie się też, jeśli wysłaliście ją na jakiś inny konkurs. Napiszemy o tym, a najciekawsze prace dodatkowo nagrodzimy.