Trójkąt jest jedną z najprostszych figur geometrycznych, którą poznajemy już w pierwszych dniach nauki w szkole. Ma jednak tak dużo ciekawych własności, że przez wszystkie lata aż do matury poznajemy coraz więcej z nich (a i tak o wielu w szkole w ogóle się nie mówi). Tu zebraliśmy wszystkie ważne rzeczy, jakie powinieneś wiedzieć o trójkącie, i opisaliśmy je nie w teorii, ale w prostych zadaniach.
Stopień trudności zadań jest standardowy, ale wraz z numerem rośnie zakres wiedzy, potrzebnej do ich rozwiązania. Z początkowymi powinien poradzić sobie każdy gimnazjalista. W końcowych potrzebne jest już zastosowanie trygonometrii. Sprawdź, do którego zadania dojdziesz dziś.
Rozwiązywanie zacznij od naszkicowania sytuacji opisanej w zadaniu. Pamiętaj, że w geometrii dobry rysunek to często połowa sukcesu!
1. W trójkącie ABC kąt B ma 120°, wysokość CD ma długość [tex]\sqrt{3}[/tex], a bok AC [tex]\sqrt{19}[/tex]. Jakie jest pole tego trójkąta?
2. W trójkącie równoramiennym podstawa ma 20 cm, a ramiona 15 cm. Znajdź pole i wysokości tego trójkąta.
3. Trójkąt ma boki AB=10, AC=6 i BC=14. Znajdź długości odcinków, na jakie dwusieczna kąta C dzieli odcinek AB.
4. W trójkącie ABC bok AB=8 a środkowa CM=5. Kąt między AB i CM ma 45°. Znajdź pole trójkąta.
5. Znajdź promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie 10 i ramionach 13.
6. Znajdź długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach 5, 12, 13.
7. W trójkącie równoramiennym podstawa ma 6 cm a ramiona 5. Jaka jest odległość środka okręgu opisanego od podstawy?
8. Ramiona trójkąta równoramiennego równają się promieniowi okręgu opisanego. Znajdź kąty tego trójkąta.
9. Promień koła opisanego na trójkącie wynosi 6 i jest równy wysokości tego trójkąta. Jeden z boków ma długość 12. Ile wynosi pole trójkąta?
10. W trójkącie równoramiennym podstawa AB ma długość 4[tex]\sqrt{2}[/tex] a środkowa AK długość 5. Znajdź długości ramion.
11. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wynosi 2, a opisanego 5. Znajdź boki.
12. Znajdź kąty ostre trójkąta prostokątnego, wiedząc że wysokość i środkowa opuszczone z wierzchołka kąta prostego dzielą ten kąt na równe części (są trójsiecznymi kąta).
13. Ile wynosi suma odległości dowolnego punktu P, leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego o boku a, od boków tego trójkąta?
14. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC=1 i BC=2 podzielono na dwie części o równych polach prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej. Jaka jest długość odcinka tej prostej, zawartego wewnątrz trójkąta i jaka jest odległość B od tej prostej?
15. Długości dwóch boków trójkąta wynoszą 12 i 12[tex]\sqrt{3}[/tex], a promień okręgu opisanego 12. Ile ma trzeci bok?
16. Ile wynoszą promienie okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a i opisanego na tym trójkącie?
17. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC=6 i BC=12. Jaki jest promień okręgu stycznego do przyprostokątnych, o środku na przeciwprostokątnej?
18. Punkt wewnętrzny trójkąta równobocznego jest odległy od boków trójkąta o: 1, 10, 100. Jaki jest obwód tego trójkąta?
19. Znajdź odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 10 i 24.
20. Punkt wewnętrzny trójkąta równobocznego jest odległy od wierzchołków trójkąta o: 1, 10, 100. Jaki jest obwód trójkąta?
21. W trójkąt równoramienny o podstawie 12 i ramionach 18 wpisano okrąg. Jaka jest odległość między punktami styczności na ramionach?
22. Odległość środka ciężkości trójkąta ABC od wysokości CF wynosi 6, a bok AB=20. Jakie są długości odcinków, na jakie F dzieli AB?
23. W trójkąt równoramienny o podstawie 10 i ramionach 13 wpisano okrąg. Styczna do tego okręgu przecina ramiona w punktach P i Q. Znajdź długość odcinka PQ.
24. Prowadzimy dwie proste równolegle do dwóch boków trójkąta tak, że dzielą one trójkąt na 4 części o równych polach. Znajdź długości odcinków, na jakie proste te dzielą trzeci bok trójkąta, jeśli jego długość wynosi 2.
25. Dane są długości boków trójkąta a=2, b=4 oraz długość środkowej poprowadzonej z ich wspólnego wierzchołka s=[tex]\sqrt{3}[/tex]. Znajdź pole trójkąta.
26. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wynosi 3, a długość przeciwprostokątnej 15. Znajdź długości pozostałych boków.
27. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym wysokości AD=6 i BE=8 przecinają się w punkcie M i kąt AMB ma 150°. Oblicz pole trójkąta.
28. Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg i dane są jego kąty A i B (A<B). Wyznaczyć kąt między prostą AB i styczną do okręgu w punkcie C.
29. W trójkącie prostokątnym promień koła wpisanego jest 5, a odległość między środkami kół wpisanego i opisanego na tym trójkącie jest 12. Oblicz obwód i pole trójkąta.
30. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości a i 2a. Oblicz długość promienia okręgu stycznego do przyprostokątnych o środku leżącym na przeciwprostokątnej.
31. W trójkącie prostokątnym długości boków są całkowite i jedna przyprostokątna wynosi 12. Jakie są długości pozostałych boków?
32. Pole trójkąta o bokach a[tex]\leq[/tex]b[tex]\leq[/tex]c wynosi 1,5. Jaka jest co najmniej długość b?
33. W trójkącie ostrokątnym ABC długości AB, BC, AC są kolejnymi liczbami naturalnymi większymi od 3. Wysokość poprowadzona do boku BC dzieli go na 2 części. Jaka jest różnica długości tych części?
Uffffff...
Literatura
Danuta i Marek Zakrzewscy, Repetytorium z matematyki, Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000.
Adam Smólski, Matematyka. Księga maturzysty, Wydawnictwo MUZA SA, Warszawa 2000.
Wiedza o trójkątach
Wiedza o trójkątach podana jest tu w sposób prosty, ciekawy i żywy... Powiem szczerze, że chciałabym, aby nauczyciele w ten sposób objaśniali współczesnym uczniom zawiłości matematyki. Nie byłoby problemów z jej nauką. Tak trzymać!