Podstawa programowa z matematyki - szkoły średnie

 Cele kształcenia – wymagania ogólne

I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.

II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań.

IV. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego.

 Warunki i sposób realizacji

Korelacja. Ze względu na użyteczność matematyki i jej zastosowania w szkolnym nauczaniu fizyki, informatyki, geografii i chemii zaleca się zrealizować treści nauczania określone w działach: logarytmy, pojęcie funkcji i funkcje liniowe w pierwszym półroczu klasy pierwszej, zaś treści nauczania określone w działach: funkcje kwadratowe i proporcjonalność odwrotna nie później niż do końca klasy pierwszej. Treści nauczania określone w dziale obliczanie początkowych wyrazów ciągów określonych rekurencyjnie można realizować w korelacji z analogicznym zagadnieniem z podstawy programowej z informatyki.

Oznaczenia. Uczniowie powinni używać powszechnie przyjętego oznaczenia zbiorów liczbowych, a w szczególności: dla liczb całkowitych symbolu Z, dla liczb wymiernych Q, dla liczb rzeczywistych R.

Przedziały. Uczeń powinien wykorzystywać przedziały do opisu rozwiązań nierówności. Najważniejsza w odpowiedzi jest jej poprawność. Na przykład rozwiązanie nierówności
x² – 9x + 20 > 0 może być zapisane na każdy z poniższych sposobów:
a) rozwiązaniem jest każda liczba x, która jest mniejsza od 4 lub większa od 5,
b) rozwiązaniami są liczby x mniejsze od 4 oraz liczby x większe od 5,
c) x<4 lub x>5,
d) x ∈ (-∞,4) lub x ∈ (5,∞),
e) x ∈ (-∞,4) ∪ (5,∞).

Zastosowania logarytmów. Przy nauczaniu logarytmów warto podkreślić ich zastosowania w wyjaśnianiu zjawisk przyrodniczych, których przebieg opisuje funkcja logarytmiczna. Procesy takie zachodzą, gdy w przedziale czasowym pewna wielkość zawsze rośnie (lub maleje) ze stałą krotnością. Poniższe przykładowe zadania ilustrują zastosowania logarytmu.

1. Skala Richtera służy do określenia siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem [tex] log\frac{A}{A_0}[/tex], gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A₀ + 10^-4 cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 25 kwietnia 2015 r. w Nepalu miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 7,8 w skali Richtera. Oblicz amplitudę tego trzęsienia ziemi.
2. Chory przyjął dawkę 100 mg leku. Masę tego leku pozostałą w organizmie po czasie t określa zależność M(t) = a ^. b^t. Po pięciu godzinach organizm usuwa 30% leku. Oblicz, ile leku pozostanie w organizmie chorego po upływie doby.

Postać kanoniczna. Przy omawianiu funkcji kwadratowej podkreślać należy znaczenie postaci kanonicznej i wynikających z tej postaci własności. Warto zwrócić uwagę, że wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego oraz na współrzędne wierzchołka paraboli są jedynie wnioskami z postaci kanonicznej. Wiele zagadnień związanych z funkcją kwadratową daje się rozwiązać bezpośrednio z tej postaci, bez mechanicznego stosowania wzorów. W szczególności postać kanoniczna pozwala znajdować najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej, a także oś symetrii jej wykresu.

Złożenia funkcji i funkcje odwrotne. Definicja funkcji złożonej pojawia się dopiero w zakresie rozszerzonym, ale już w zakresie podstawowym oczekuje się od ucznia umiejętności operowania równocześnie danymi zaczerpniętymi z kilku źródeł. Nie wymaga to jednak formalnego wprowadzenia operacji złożenia czy odwracania funkcji.

Przekształcenia równoważne. W trakcie rozwiązywania równań i nierówności należy zwracać uwagę, że obok metody przekształceń równoważnych można stosować metodę wnioskowania (metoda analizy starożytnych). Po wyznaczeniu potencjalnego rozwiązania następuje sprawdzenie, które z wyznaczonych wartości istotnie spełniają wyjściowe równanie. W wielu sytuacjach nie warto domagać się przekształceń równoważnych, gdy metoda wnioskowania prowadzi do szybkich rezultatów. Ponadto uczniowie powinni wiedzieć, że uprawnioną metodą dowodzenia jest równoważne przekształcanie tezy.

Zastosowania algebry. Warunkiem powodzenia procesu nauczania matematyki jest sprawne posługiwanie się wyrażeniami algebraicznymi. Metody algebraiczne często dają się stosować w sytuacjach geometrycznych i na odwrót – ilustracja geometryczna pozwala lepiej zrozumieć zagadnienia algebraiczne.

Ciągi. Zagadnienie to należy omawiać tak, by uczniowie zdali sobie sprawę, że poza ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi istnieją też inne. Podobnie należy podkreślić, że poza ciągami niemalejącymi, rosnącymi, nierosnącymi, malejącymi i stałymi istnieją też takie, które nie są monotoniczne. Warto zwrócić uwagę uczniów, że niektóre ciągi opisują dynamikę procesów występujących w przyrodzie bądź społeczeństwie. Przykładowo podany w dziale ciągi przykład: [tex]\left\{\begin{array}{rcl}a_1&=&0,001\\a_{n+1}&=&a_n+\frac{1}{2}a_n(1-a_n)\end{array}\right.[/tex] opisuje szybkość rozprzestrzeniania się plotki (liczba a_n podaje, ile osób o plotce słyszało). Podobny model może być użyty do opisu rozprzestrzeniania się epidemii.

Granica ciągu. Przed sformułowaniem definicji granicy ciągu warto zadawać uczniom pytania w rodzaju: czy istnieje taka liczba naturalna k, że dla każdej liczby naturalnej n większej od k zachodzi nierówność [tex]\frac{1}{3} < \frac{n}{2n+1} < \frac{2}{3}[/tex]? Twierdzenie o trzech ciągach także wspiera budowanie intuicji granicy ciągu. Obliczanie granic ciągów warto poprzedzić wykorzystaniem programów komputerowych do rysowania wykresów ciągów. Dokładniejsze obliczenia ułatwią w odpowiednio dobranych przykładach formułowanie hipotez na temat istnienia wartości granicy ciągu.

Planimetria. Rozwiązywanie klasycznych problemów geometrycznych jest skutecznym sposobem kształtowania świadomości matematycznej. Uczniowie, którzy rozwiązują zadania konstrukcyjne, nabywają przez to wprawy w rozwiązywaniu zadań geometrycznych różnego typu, na przykład uczeń z łatwością przyswoi własności okręgów wpisanych w trójkąt czy czworokąt, jeśli potrafi skonstruować te figury. Nauczanie konstrukcji geometrycznych można przeprowadzać w sposób klasyczny, za pomocą linijki i cyrkla, można też używać specjalistycznych programów komputerowych, takich jak np. GeoGebra.

Dwumian Newtona. Ważne jest, żeby przy okazji nauczania wzoru na potęgę dwumianu (a+b)ⁿ podkreślić znaczenie współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona) [tex]{{n}\choose{k}}[/tex] w kombinatoryce. Warto go również zapisywać w postaci [tex]{{n}\choose{k}} = \frac{n(n-1)...⋅(n-k+2)(n-k+1)}{n(n-1)…⋅(n-k+2)(n-k+1}[/tex] , gdyż w tej formie jest lepiej widoczna jego interpretacja i łatwiej obliczyć wartości dla małych k.

Rachunek prawdopodobieństwa. Uczniowie w przyszłości będą mieli do czynienia z zagadnieniami powiązanymi z losowością, które występują w różnych dziedzinach życia i nauki, na przykład: przy analizie sondaży, zagadnień z zakresu ekonomii i badaniach rynków finansowych lub w naukach przyrodniczych i społecznych. Warto wspomnieć o paradoksach rachunku prawdopodobieństwa, które pokazują typowe błędy w rozumowaniu i omówić niektóre z nich. Warto też przeprowadzać z uczniami eksperymenty, np. eksperyment, w którym uczniowie zapisują długi ciąg orłów i reszek bez losowania, a następnie zapisują ciąg orłów i reszek powstały w wyniku losowych rzutów monetą. Błędne intuicje na temat losowości podpowiadają zwykle, że nie powinny pojawiać się długie sekwencje orłów (albo reszek), podczas kiedy w rzeczywistości takie długie sekwencje orłów (lub reszek) występują. Omawianie w zakresie podstawowym wartości oczekiwanej nie wymaga wprowadzania pojęcia zmiennej losowej. Wskazane jest raczej posługiwanie się intuicyjnym rozumieniem wartości oczekiwanej zysku czy ustalanie liczby obiektów spełniających określone własności. W ten sposób uczeń ma możliwość dostrzeżenia związków prawdopodobieństwa z życiem codziennym, ma także szanse kształtowania umiejętności unikania zachowań ryzykownych, np. przy decyzjach finansowych. W zakresie rozszerzonym ważne jest uświadomienie uczniom, że rachunek prawdopodobieństwa nie ogranicza się jedynie do schematu klasycznego i używanej tam kombinatoryki. Dobrą ilustracją są przykłady zastosowania schematu Bernoulliego dla dużej liczby prób.

Pochodne. Posługiwanie się pojęciem granicy ilorazu różnicowego konieczne do zrozumienia pojęcia pochodnej wymaga dużych możliwości poznawczych. Dlatego pochodne należy wprowadzać w pierwszej kolejności intuicyjnie, posługując się interpretacją fizyczną (prędkość chwilowa, natężenie prądu) oraz geometryczną (styczna, nachylenie wykresu). Podstawowym zastosowaniem definicji pochodnej może być wyprowadzenie wzoru na pochodną jednomianu i pochodną sumy, iloczynu i złożenia funkcji (gdy funkcja wewnętrzna jest różnowartościowa). Uczniowie powinni też poznać twierdzenie mówiące, że funkcja ciągła na przedziale i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału jest niemalejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest nieujemna.

Dowody. Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija Logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód. Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką. Poniżej znajduje się lista twierdzeń, których dowody powinien uczeń poznać.

Twierdzenia i dowody – zakres podstawowy

• Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych.
• Niewymierność liczb: [tex]\sqrt{2}[/tex] , log₂5.
• Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
• Podstawowe własności potęg (o wykładnikach całkowitych i wymiernych) i logarytmów.
• Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci x-a wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (schemat Hornera) – dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia.
• Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
• Twierdzenia o kątach w okręgu: kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg, to ich miary są równe wtedy i tylko wtedy, gdy kąty są oparte na przystających łukach. 
• Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym: Jeśli odcinek CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym ACB, to |AD| ^. |BD| = |CD|², |AC|² = |AB| ^. |AD| oraz |BC|² = |AB| ^. |BD| 
• Twierdzenie o dwusiecznej: Jeśli prosta CD jest dwusieczną kąta ACB w trójkącie ABC i punkt D leży na boku AB, to [tex]\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}[/tex].
• Wzór na pole trójkąta P=¹/₂ a∙b∙sinγ. 
• Twierdzenie sinusów. 
• Twierdzenie kosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenia i dowody – zakres rozszerzony

• Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli 0<k<n, to [tex]{{n}\choose{k}} = {{n-1}\choose{k-1}} + {{n-1}\choose{k}}[/tex]. 
• Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na sumy i różnice n-tych potęg:
  aⁿ ± bⁿ (przy odpowiednich założeniach o n) oraz jako wniosek dla liczb całkowitych a i b, a–b|aⁿ-bⁿ.
• Wzory Viète’a. 
• Wzory na sinus i kosinus sumy i różnicy kątów.
• Twierdzenia o istnieniu niektórych punktów szczególnych trójkąta: symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i (jako wniosek) proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
• Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg: Czworokąt wypukły ABCD można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy |∢BAD| + |∢BCD| = |∢ADC| + |∢ABC|= 180⁰
• Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu: W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy |AB| + |CD| = |AD|+ |BC|.
• Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny: Dane są proste k, l i m leżące na jednej płaszczyźnie. Jeśli proste k i l przecinają się i prosta n jest do nich prostopadła, to prosta n jest także prostopadła do prostej m.
• Twierdzenie o trzech prostopadłych: Prosta k przecina płaszczyznę P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę P. Prosta m leży na płaszczyźnie P. Wówczas proste k i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy proste l i m są prostopadłe.

Uwagi

W odniesieniu do podstawy programowej dla gimnazjum w podstawie programowej dla szkoły podstawowej nie ma następujących zagadnień: 

• potęga o wykładniku niedodatnim, 
• wyłączanie poza nawias jednomianu z sumy algebraicznej,
• układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi,
• funkcje, proporcjonalność odwrotna,
• podobieństwo trójkątów, 
• twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa,
• długość łuku i pole wycinka kołowego,
• wielokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, 
• objętości i pola powierzchni brył obrotowych,
• konstrukcje geometryczne. 

Natomiast dopisano następujące zagadnienia:

• znajdowanie współrzędnych środka odcinka, gdy jego końce mają współrzędne całkowite lub wymierne oraz drugiego końca odcinka, gdy dany jest jego jeden koniec i środek,
• obliczanie długości odcinka, którego końce są punktami kratowymi w układzie współrzędnych,
• dla danych punktów kratowych A i B znajdowanie innych punktów kratowych należących do prostej AB,
• stosowanie reguły mnożenia i reguły dodawania przy zliczaniu par elementów,
• obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach polegających na rzucie dwiema kostkami lub losowaniu dwóch elementów ze zwracaniem i bez zwracania.