Arytmetyka

Data ostatniej modyfikacji:
2013-12-20

Każde dwie liczby rzeczywiste są równe

Niech a > b.
Zatem dla pewnego c > 0
a = b + c  /·(a-b)
a(a-b) = (b+c)(a-b)
aa - ab = ab + ac - bb - bc
aa
- ab - ac = ab - bb - bc
a(a-b-c) = b(a-b-c)  /:(a-b-c)
a = b

***

4 = 5

16 - 36 = 25 - 45
16 - 36 + 81/4 = 25 - 45 + 81/4
(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2
4 - 9/2 = 5 - 9/2
4 = 5

***

+ jest liczbą niewymierną

+ = 1,41 + 1,73 = 3,14,

która to liczba jest najbardziej znaną na świecie liczbą niewymierną.

***

 2=1

Niech a = x   / +a
a
+ a = a +
2a = a + x   /  - 2x
2a - 2x = a + x - 2x
2(a-x) = a + x - 2x
2(a-x) = a - x  /  :(a-x)
2 = 1

***

Każde liczba rzeczywista jest zerem

Niech a = b   / ·a
a2
= ab   / -b2 
a2 - b2= ab - b2
(a-b)(a+b) = b(a-b)   / :(a-b)
a+b = b   / -b
a = 0

 

Błąd w pierwszym

a(a-b-c) = b(a-b-c) /:(a-b-c)

Aj, ładnie to tak przez zero dzielić?

Błąd w drugim

a2=b2 jest równoważne |a|=|b|, nie a=b. W tym wypadku a=-b.

Gdzie się podziało?

Hej, a gdzie się podziało -36 i - 45? Gdzieś je wywiało! Nie wiem czego miało to równanie dowieść w ogóle.

Nic nie wywiało

Nic nie wywiało, tylko wzór skróconego mnożenia zastosowano! Ech...

Jest przecież wzór!
młody (niezweryfikowany) poniedziałek, 03/11/2008 - 20:47

Jest przecież wzór skróconego mnożenia: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2.
Najpierw się nauczcie wzorów, a dopiero później komentujcie :/

Błąd w drugim c.d.

Błąd jest w przejściu
od (4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2do 4 - 9/2 = 5 - 9/2,
ponieważ jeśli pierwiastkujemy liczbę ujemną, którą jest przecież 4 - 9/2,
to nie powinniśmy zapominać o wartości bezwzględnej, a więc prawidłowo powinno być:
9/2-4 = 5 - 9/2 i jest ok:)

 

No co Ty!
niemłody (niezweryfikowany) niedziela, 02/11/2008 - 22:13

Tu nigdzie nie pierwiastkujemy liczb ujemnych, bo pierwiastkujemy kwadraty, więc liczby zawsze nieujemne!!!, ale fakt, ża wartości bezwględnej zabrakło.

 

Pierwiastkujemy
młody (niezweryfikowany), czwartek, 06/11/2008 - 10:45

No tak:) masz rację, nie pierwiastkujemy liczb ujemnych, za szybki skrót zrobiłem. Chodziło mi tu o definicję wartości bezwzględnej (pierwiastek z kwadratu) i pod nią jest liczba ujemna ;)

Błąd w trzecim

Odnośnie trzeciego przykładu:
√2 + √3 ≈ 3,1462643699419723423291350657156...
π ≈ 3,1415926535897932384626433832795...
więc:
√2 + √3 ≠ π

Ja w ogóle nie rozumiem

Ja w ogóle nie rozumiem trzeciego zadania! Rozumowanie Vulgarisa jest dobre, ale nie wiem, jak w ogóle można liczbę niewymierną zaokrąglać do drugiego miejsca po przecinku i później z tego jeszcze coś wnioskować. To herezja.

Ha, ha

Na matmie to Ty się może i znasz, ale na dowcipach w ogóle. A ten akurat niezły jest. Mnie w każdym razie ubawił do łez :D

Błąd w 2 = 1

Nic dziwnego, że wyszło 2 = 1, skoro dzielicie przez (a - x) = 0. Nie wolno dzielić przez zero!

Nie dziel przez nieznane

Nigdy nie dziel przez liczbę nieznaną, gdyż może to być 0.
Wychodzi na to, że 0=0, a nie 2=1 !!!

Nic nie wychodzi

Z dzielenia przez zero nie wychodzi w ogóle nic sensownego, bo tego działania nie da się wykonać (w szczególności nie wyjdzie 0=0).
Ale uwaga słuszna jest o tyle, że mnożyć równości stronami też nie można "przez liczbę nieznaną", bo mogłoby to być zero, i wtedy właśnie otrzymalibyśmy np. z równania sprzecznego 2=1, równanie tożsamościowe 0=0, więc z równości fałszywej - prawdziwą.

O sumie pierwiastków

Dzieląc przez 0, otrzymujemy symbol nieoznaczony, który w sumie jest oznaczony, bo jest to ±∞;]

Teraz o sumie pierwiastków:

Przyjmijmy, że √3 + √2 = π.
Wtedy cos(√3 + √2) = cos(π) = -1 /^2
(cos(√3 + √2))^2 = 1 (**).

Z "jedynki trygonometrycznej"
(cos(√3 + √2))^2 + (sin(√3 + √2))^2 = 1 (*).

Z (*) i (**) mamy:(sin(√3 + √2)) = 0, co daje
- tg(√3) = tg√2, a to nie jest prawdą, bo okres funkcji tangens wynosi π. Co prawda w tych pierwiastkach wartości są zbliżone, ale tylko dlatego, że one leżą blisko asymptot pionowych. Chyba ;]

Nie kąsam

Dzielenie przez zero jest oznaczone (daje jedną z nieskończoności) tylko wtedy, gdy dzielimy coś zbieżne do stałej. Jeśli dzielimy coś dążącego do zera lub do nieskończoności, to wychodzi jednak nieoznaczoność (w granicy może dziać się wtedy wszystko!).

A powyższego rozumowania nie kąsam. Tzn. nie rozumiem go od miejsca z tangensami. Skąd one się wzięły?

Z zerem się zgadzam

Z tym zerem się zgadzam w 100 procentach.

sin(√3 + √2) = 0
sin(√3)cos(√2) + cos(√3)sin(√2) = 0 (ze wzoru na sinus sumy)
sin(√3)cos(√2) = - cos(√3)sin(√2)
- tg√3 = tg√2
- arctg(√3) = arctg(√2)
-√3 = √2

Ale nie w 100 procentach

Jednak nie w 100 procentach zgadzam się z tym zerem.

 \lim_{n \to \infty} 1/n = 1/∞ = 0
 \lim_{n \to \0} 1/n= 1/0 = ∞.

To nie jest dzielenie

Obliczanie granicy 1/n w nieskończoności to zupełnie coś innego, niż dzielenie jedynki przez zero. Granica jest nieskończonością, a iloraz jedynki przez zero - nie!

Zero w granicy

Tomaszu, twoje przykłady nijak się mają do tego, o czym traktują te paradoksy. Trzeba rozróżnić zero jako liczbę od zera jako wartości granicznej. To nie prawda zresztą, że jeśli lim bn=0, to lim(an/bn)=±∞. Twoje przykłady niczego tak naprawdę nie dowodzą, może oprócz tego tylko, że istnieje nieskończenie wiele sytuacji, w których masz rację. W ogólności jednak nie masz słuszności.
Pozdrawiam!

Dzielenie przez zero

Otóż dzielenie przez zero jest możliwe. Mówimy tutaj o obiekcie algebraicznym zwanym pierścieniem. Pierścieniami są np. liczby wymierne, rzeczywiste, zespolone itd. Ale spójrzmy, co się dzieje, gdy dzielimy przez zero. Niech a, b będą elementami pierścienia P. W P istnieć musi element a/b. Wtedy b(a/b)=a. Gdyby dopuścić dzielenie przez zero, to w P istniałby element a/0 i z powyższego 0(a/0)=a. Z drugiej jednak strony wiemy, że 0·c=0 dla dowolnego elementu c. Zatem a=0(a/0)=0. Otrzymana równość pokazuje, że dzielenie przez zero istnieje, ale tylko w pierścieniu złożonym z samego zera.
Zainteresowanych odsyłam do teorii grup i pierścieni (thoery of groups and rings) i zapoznania się z aksjomatyką tych obiektów.

Algorytm sprawdzania pierwszosci

Dowiedziałem się, że wszystkie algorytmy sprawdzania pierwszości liczb mają dużą złożoność obliczeniową. Postanowiłem udoskonalić je tak, aby działały szybciej. Zauważyłem, że liczba n jest pierwsza, wtedy i tylko wtedy, gdy reszta z dzielenia 2n przez n wynosi 2. Napisałem program w języku Logo.

oto AJS :n
jeśli :n<2
[wynik "złożona]
jeśli :n=2
[wynik "pierwsza]
jeśli (reszta (pot 2 :n) :n)=2
[wynik "pierwsza]
[wynik "złożona]
już

Sprawdziłem go dla małych liczb (obsługiwanych przez LOGO) i działa. Czy ten algorytm jest poprawny?

Algorytm jest niepoprawny

Podana przez Kubę własność jest szczególnym przypadkiem tzw. małego twierdzenia Fermata (MTF), które mówi, że jeśli p jest liczbą pierwszą, a k liczbą całkowitą, to p dzieli kp-k. Ale nie zachodzi twierdzenie odwrotne do MTF, tzn. jeśli liczba ma użytą w algorytmie własność, nie musi wcale być pierwsza... Takie liczby zdarzają się rzadko, ale jest ich nieskończenie wiele (najmniejsze to kolejno: 341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, 6601, 7957, 8321, 8481, 8911, 10261, 10585, 11305, 12801, 13741, 13747, 13981, 14491, 15709, 15841, 16705, 18705, 18721, 19951, 23001, 23377, 25761, 29341) i nawet najmniejsze dają już olbrzymie potęgi dwójki. Zatem podany algorytm nie jest poprawny, choć dla małych liczb zadziała prawidłowo.

Natomiast złożoność obliczeniowa podanego algorytmu zależy od złożoności funkcji "pot" i "reszta", a to z kolei zależeć może od wersji Logo, której się używa.

4=5 jeszcze raz (ale trochę inaczej)

Wiadomo, że 4-4=0 i 10-10=0,
ale 4=2·2,
więc 0 = 2·2-2·2 = (2+2)(2-2) ze wzoru na różnicę kwadratów,
ale także 0 = 10-10 = 5(2-2).
Skoro 4-4 = 10-10,
to (2+2)(2-2) = 5(2-2) /: (2-2),
czyli 2+2 = 5,
więc 4 = 5

Powrót na górę strony