3 = 0
W zbiorze R rozwiązujemy równanie
x2 + x + 1 = 0.
Ponieważ zero nie jest pierwiastkiem tego równania, możemy obie jego strony podzielić przez x otrzymując równanie równoważne:
x + 1 + 1/x = 0, skąd
(*) 1/x = -(x+1).
Wyjściowe równanie jest też równoważne równaniu
(**) x2 = -(x+1).
Przyrównując prawe strony obu powyższych równań otrzymujemy:
1/x = x2, skąd x3 = 1.
Zatem pierwiastkiem tego równania jest 1 i podstawiając go do równania wyjściowego (równoważnego temu ostatniemu) otrzymujemy:
12 + 1 + 1 = 0, czyli 3 = 0.
***
4 = 2
Rozwiązujemy równanie:
x - 1 = 2 /·(x-5)
x2 - 6x + 5 = 2x - 10 /-(x-7)
x2 - 7x + 12 = x - 3
(x-4)(x-3) = x-3 /:(x-3)
x - 4 = 1 /+4
x = 5
Jest to jedyny pierwiastek wyjściowego równania, zatem po podstawieniu do niego otrzymujemy równość 4 = 2.
***
Mniejsze jest większe
Wiadomo, że a+3 to liczba "o trzy większa" niż a. A jak wygląda liczba "trzy razy większa" od a? Też wiadomo. 3·a.
Ale z tego wynika (dla a=-2), że liczba 3·(-2) = -6 jest 3 razy WIĘKSZA od (-2), a przecież to jest liczba MNIEJSZA od (-2). Co poszło nie tak?
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
4=2
Nie można podzielić przez (x-3), bo to jest równe 0, a wynika to z pierwszego równiania x-1=2.
3=0
"Przyrównując prawe strony obu powyższych równań, otrzymujemy(...)" - to tylko implikacja, więc nie każdy pierwiastek otrzymanego równania musi spełniać równanie wyjściowe. Widać to lepiej, kiedy równanie x3=1 zapiszemy w postaci (x-1)(x2+x+1)=0.
Nie łapię
Przykładu klajoka z x3=1 nie rozumiem, bo te równania akurat są równoważne. Ale błąd w "3=0" rzeczywiście polega na przyrównaniu LEWYCH stron dwóch równań równoważnych wyjściowemu, bo tak naprawdę oznacza to odjęcie tych równań stronami (prawe strony odejmą się do zera, czyli lewe się przyrównają). Ale dodawanie lub odejmowanie stronami NIE JEST przejściem równoważnym. Jeśli A=B i C=D to na pewno A+C = B+D, ale nie na odwrót, bo jeśli 2+3 = 1+4, to wcale z tego nie wynika, że 2=1 i 3=4, no nie?
Ładnie opowiedziane
Muszę przyznać, że bardzo fajnie to wytłumaczyłeś. Wszystko zajarzyłem. Żeby moja nauczycielka tak umiała...
A może to ja
A może to ja, Fredi, Twoja nauczycielka?
3=0
Trzeba wiedzieć, że poza liczbami rzeczywistymi istnieje większe ciało liczbowe - liczby zespolone. Liczba, która jest jednym z dwóch rozwiązań danego równania, żyje w tym właśnie ciele. Nie można jej zobaczyć patrząc oczami liczb rzeczywistych. Spełnia ona równanie x3=1. Ale liczba ta nie jest równa 1. Nazywamy ją pierwiastkiem (zespolonym) trzeciego stopnia z jedynki. Równanie wyjściowe ma tylko rozwiązania zespolone (wyróżnik <0), a wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry.
Paradoks koni
Udowodnimy, że wszystkie konie są jednej maści. Posłużymy się indukcją matematyczną względem liczby koni. Sprawdzamy pierwszy krok indukcyjny − zbiór złożony z jednego konia jest zbiorem koni jednej maści. Zakładamy teraz, że (dla ustalonego n) wszystkie konie w każdym zbiorze n-elementowym koni są jednej maści. Pokażemy, że w takim razie teza zachodzi także dla wszystkich zbiorów (n+1)-elementowych koni.
Dodajmy do dowolnego n-elementowego zbioru nowego konia. Mamy zbiór (n+1)-elementowy. Teraz odprowadźmy z tego zbioru któregoś konia, ale nie tego, którego właśnie dodaliśmy. Otrzymujemy więc zbiór n-elementowy koni. Z założenia indukcyjnego wszystkie konie w tym zbiorze są jednej maści. W takim razie nowo dodany koń jest tej samej maści, co pozostałe. Teraz możemy z powrotem przyprowadzić konia usuniętego z naszego zbioru (który jest tej samej maści, co pozostałe) i otrzymujemy zbiór (n+1)-elementowy koni jednej maści.
konie
Nie ma tu paradoksu. Udowodniono po prostu, że ile by koni nie było, to żaden nie ma więcej maści niż jedna i w tym sensie "wszystkie konie są jednej maści". Magia wynika z braku precyzji języka potocznego, w którym to języku zdanie dowodzone wydaje się mieć taki sam sens jak "Każde dwa konie są tej samej maści". To ostatnie zdanie aby nie budziło matematycznych wątpliwości należało by jeszcze doprecyzować na "W dowolnym zbiorze koni każdy dwuelementowy podzbiór składa się z koni o ten samej maści". Gdybyśmy jednak to ostatnie zdanie chcieli indukcyjnie dowodzić, to najmniejsza sensowna baza indukcji wynosi n=2.