Elementy rachunku prawdopodobieństwa (kl. 3)

stopień trudności:

• średnio trudny
• zadanie z (*) obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam stopień trudności

ocenianie:
17-18 - celujący
14-16 - bardzo dobry
11-13 - dobry
9-10 - dostateczny
6-8 - dopuszczający
0-5 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:

• sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego, wtedy zadania traktujemy jako otwarte, a uczeń powinien przedstawić pełny tok rozumowania i obliczenia
• może być wykorzystany jako powtórzenie wiadomości z danego działu przed testem kompetencji

grupa A (18 pkt)

Zad. 1. (5 pkt) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry – białą i czerwoną.
a) Opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Z ilu elementów składa się ten zbiór?
b) Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom losowym: A – na białej kostce wypadła liczba oczek o 1 mniejsza niż na czerwonej, B – wypadła suma oczek większa niż 10, C – na czerwonej kostce wypadła szóstka
c) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B i C.
d) Podaj przykład zdarzenia niemożliwego związanego z przeprowadzonym doświadczeniem.

Zad. 2. (3 pkt) Rzucono trzy razy monetą.
a) Narysuj drzewo prawdopodobieństw dla tego doświadczenia.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 2 orły?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jako ostatnia wypadła reszka?

Zad. 3. (2 pkt) Ze zdania ALA MA ASA wybieramy losowo jedną literę.
a) Podaj zbiór zdarzeń elementarnych.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy samogłoskę?

Zad. 4. (2 pkt) Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli z urny, w której są jeszcze kule białe i czarne, jest równe 0,2. Białych kul jest 5, a czarnych 7. Ile jest kul czerwonych?

Zad. 5. (4 pkt) W urnie są 2 kule czerwone i 3 zielone. Wyciągamy jedną kulę. Jeśli jest czerwona, to rzucamy raz monetą, a jeśli zielona, to dwa razy.
a) Narysuj drzewo prawdopodobieństw dla tego doświadczenia.
b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła.
c) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania chociaż raz reszki.

Zad. 6.* (2 pkt) Ze zbioru liczb {1, 2, 3, …, 149, 150} wybieramy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dzieli się ona przez 4 lub 10?

grupa B (18 pkt)

Zad. 1. (5 pkt) Rzucono 2 razy sześcienną kostką do gry.
a) Opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Z ilu elementów składa się ten zbiór?
b) Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom losowym: A – na obu kostkach wypadło tyle samo oczek, B - wypadła suma oczek równa 11, C – za pierwszym razem wypadła jedynka
c) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B i C.
d) Podaj przykład zdarzenia niemożliwego związanego z tym doświadczeniem.

Zad. 2. (3 pkt) Rzucono cztery razy monetą.
a) Narysuj drzewo prawdopodobieństw dla tego doświadczenia.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 2 reszki?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jako ostatni wypadł orzeł?

Zad. 3. (2 pkt) Ze słowa MATEMATYKA wybieramy losowo jedną literę.
a) Podaj zbiór zdarzeń elementarnych.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy spółgłoskę?

Zad. 4. (2 pkt) Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z urny, w której są jeszcze kule zielone i czarne jest równe 0,25. Zielonych kul jest 6, a czarnych 9. Ile jest kul białych?

Zad. 5. (4 pkt) W urnie są 2 kule czarne i 4 białe. Wyciągamy losowo jedną kulę. Jeśli jest biała, to rzucamy raz monetą, a jeśli czarna, to dwa razy.
a) Narysuj drzewo prawdopodobieństw dla tego doświadczenia.
b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednej reszki.
c) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego orła.

Zad. 6.* (2 pkt) Ze zbioru liczb {1, 2, 3, …, 99, 100} wybieramy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dzieli się ona przez 2 lub 5?

odpowiedzi

grupa A
1. a) Ω = {(x, y): x - wynik na białej kostce, y - wynik na czerwonej kostce; x, y [tex]\in[/tex] {1, 2, ..., 6}}, zbiór Ω ma 36 elementów, b) A = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5),(5, 6)}, B = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}, C = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}, c) P(A) =[tex]\frac{5}{36}[/tex], P(B) =[tex]\frac{1}{12}[/tex], P(C) =[tex]\frac{1}{6}[/tex], d) np. suma wyrzuconych oczek wynosi 13
2. a) rysunek poniżej (na gałęziach należy dopisać prawdopodobieństwa)

b) P =[tex]\frac{3}{8}[/tex], c) P =[tex]\frac{1}{2}[/tex]
3. a) Ω ma 8 elementów, b)  P =[tex]\frac{5}{8}[/tex]
4. 3 czerwone kule
5. a) rysunek poniżej

b) P =[tex]\frac{1}{2}[/tex], c) P=[tex]\frac{13}{20}[/tex]
6. P=0,3

grupa B
1. a) Ω={(x,y): x - wynik pierwszego rzutu, y - wynik drugiego rzutu; x, y [tex]\in[/tex] {1, 2,...,6}}, zbiór Ω ma 36 elementów, b) A ={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),(5,5), (6,6)}, B={(5,6), (6,5)}, C={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(1,6)}, c) P(A)=[tex]\frac{1}{6}[/tex], P(B)=[tex]\frac{1}{18}[/tex], P(C)=[tex]\frac{1}{6}[/tex], d) np. suma wyrzuconych oczek wynosi 13
2. a) rysunek poniżej (na gałęziach należy dopisać prawdopodobieństwa)

b) P =[tex]\frac{3}{8}[/tex], c) P =[tex]\frac{1}{2}[/tex]
3. a) Ω ma 10 elementów, b)  P =[tex]\frac{3}{4}[/tex]
4. 5 białych kul
5. a) rysunek poniżej

b) P =[tex]\frac{1}{2}[/tex], c) P =[tex]\frac{7}{12}[/tex]
6. P=0,6

 
kryteria oceniania
1. a) 1 pkt,  b) po 0,5 pkt za wypisanie zdarzeń elementarnych sprzyjających A, B i C, c) po 0,5 pkt za podanie P(A), P(B) i P(C), d) 1 pkt
2. a) 1 pkt za drzewo, b)-c) po 1 punkcie za odpowiedź z obliczeniami
3. a) 1 punkt, b) 1 punkt za odpowiedź z obliczeniami
4. 1 pkt za równanie, 1 pkt za odpowiedź
5. a) 1 pkt za drzewo, b)-c) po 1 punkcie za odpowiedź z obliczeniami
6. 1 pkt za metodę ustalenia liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających, 1 pkt za odpowiedź