Figury płaskie* (kl. 3)

stopień trudności:

• podwyższony, sprawdzian przeznaczony dla klas z rozszerzonymi treściami z matematyki
• zadanie z (*) obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam poziom

ocenianie:
23-24 - celujący
19-22 - bardzo dobry
15-18 - dobry
12-14 - dostateczny
8-11 - dopuszczający
0-7 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:

• sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego, uczeń powinien przedstawić pełny tok rozumowania i obliczenia
•  może być wykorzystany jako powtórzenie wiadomości z danego działu przed testem kompetencji

grupa A (24 pkt)

Zad. 1. (3 pkt) Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma 150°. Ile przekątnych ma ten wielokąt?

Zad. 2. (2 pkt) W koło wpisano kwadrat o obwodzie 32 cm. Jakie jest pole tego koła?

Zad. 3. (3 pkt) W trójkąt równoboczny o boku 6 cm wpisano okrąg, a w ten okrąg - sześciokąt foremny. Jakie jest pole tego sześciokąta?

Zad. 4. (4 pkt) Obwód trójkąta jest równy 30 cm. Jeden bok jest o 7 cm dłuższy od drugiego i o 1 cm krótszy od trzeciego boku. Jaki to trójkąt? Oblicz obwód koła wpisanego w ten trójkąt.

Zad. 5. (4 pkt) Punkty A=(4, 0) i B=(8, 3) są wierzchołkami równoległoboku, którego przekątne przecinają się w punkcie S=(0, 4). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego równoległoboku. Oblicz jego obwód i pole.

Zad. 6. (3 pkt) W trapezie prostokątnym ramię równe 12 cm jest nachylone do podstawy pod kątem 30°. Jedna z podstaw jest dwa razy krótsza od drugiej. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

Zad. 7. (3 pkt) Na trapezie równoramiennym opisany jest okrąg o promieniu 12,5 cm. Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma 20 cm, oblicz jego wysokość.

Zad. 8*. (2 pkt) Oblicz stosunek pól figur, na jakie dzieli koło cięciwa o długości równej promieniowi.

grupa B (24 pkt)

Zad. 1. (3 pkt) Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę 162°. Ile przekątnych ma ten wielokąt?

Zad. 2. (2 pkt) W koło wpisano kwadrat o obwodzie 40 cm. Jakie jest pole tego koła?

Zad. 3. (3 pkt) W sześciokąt foremny o boku 6 cm wpisano okrąg, a w ten okrąg - trójkąt równoboczny. Jakie jest pole tego trójkąta?

Zad. 4. (4 pkt) Obwód trójkąta jest równy 36 cm. Jeden bok jest o 3 cm dłuższy od drugiego i o 3 cm krótszy od trzeciego boku. Jaki to trójkąt? Oblicz obwód koła wpisanego w ten trójkąt.

Zad. 5. (4 pkt) Punkty A=(2, 0) i B=(4, 3) są wierzchołkami równoległoboku, którego przekątne przecinają się w punkcie S=(0, 2). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego równoległoboku. Oblicz jego obwód i pole.

Zad. 6. (3 pkt) W trapezie prostokątnym ramię równe 10 cm jest nachylone do podstawy pod kątem 60°. Jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

Zad. 7. (3 pkt) Na trapezie równoramiennym opisany jest okrąg o średnicy 15 cm. Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma 12 cm, oblicz jego wysokość.

Zad. 8*. (2 pkt) Średnica koła o promieniu r jest bokiem trójkąta równobocznego. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej poza kołem do pola części leżącej wewnątrz.

odpowiedzi

grupa A
1. 12- kąt, 54 przekątne
2. 32[tex]\pi[/tex] cm²
3. 4,5√3 cm²
4. trójkąt prostokątny, r=2 cm, obwód=4[tex]\pi[/tex] cm
5. C=(-4, 8), D=(-8, 5), pole=56, obwód=36
6. pole=(18√3+18) cm², obwód=54√3 cm
7. 12 cm
8. stosunek pola odcinka do pola pozostałej części koła = [tex]\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{10\pi+3\sqrt{3}}[/tex]

grupa B
1. 20- kąt, 170 przekątnych
2. 50[tex]\pi[/tex] cm²
3. 20,25√3 cm²
4. trójkąt prostokątny, r=3 cm, obwód=6[tex]\pi[/tex] cm
5. C=(-2, 4), D=(-4, 1), pole=21, obwód=2√13+2√37
6. pole=(5√3+15) cm², obwód=37,5√3 cm
7. 7,2 cm
8. [tex]\frac{3\sqrt{3}-\pi}{3\sqrt{3}+\pi}[/tex]

kryteria oceniania
1. 1 pkt za związek między liczbą boków a sumą miar kątów wewnętrznych lub miarą jednego kąta, 1 pkt za wzór na liczbę przekątnych, 1 pkt za poprawne obliczenia i odpowiedź
2. 1 pkt za wyznaczenie długości promienia, 1 pkt za odpowiedź
3. 1 pkt za wyznaczenie promienia okręgu, 1 pkt za wyznaczenie długości boku sześciokąta/trójkąta, 1 pkt za odpowiedź,
4. 1 pkt za długości boków trójkąta, 1 pkt za sprawdzenie z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa, że jest prostokątny, 1 pkt za równanie, z którego można wyliczyć promień (najprościej ze wzoru na pole trójkąta lub z tw. Pitagorasa), 1 pkt za odpowiedź
5. 1 pkt za równanie na współrzędne wierzchołków C i D, 1 pkt 1 pkt za wyliczenie długości boków, 1 pkt za pole (najprościej, uzupełniając równoległobok do prostokąta), 1 pkt za poprawną odpowiedź
6. 1 pkt za obliczenie wysokości trapezu, 1 pkt za obliczenie długości podstaw, 1 pkt za odpowiedź
7. 1 pkt za zastosowanie tw. Pitagorasa do trójkąta utworzonego z dłuższej podstawy, przekątnej i ramienia trapezu z uzasadnieniem, że trójkąt ten jest prostokątny, 1 pkt za ułożenie równania do obliczenia długości wysokości, 1 pkt za odpowiedź
8. gr. A: 1 pkt za wyznaczenie pola odcinka koła, 0,5 pkt za iloraz pól, 0,5 pkt za uproszczenie wyniku; gr. B: 1 pkt za wyznaczenie pola części trójkąta leżącej poza kołem lub wewnątrz koła, 0,5 pkt za iloraz pól, 0,5 pkt za uproszczenie wyniku