Figury podobne (kl. 3)

stopień trudności:

• średnio trudny
• zadanie z (*) obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam stopień trudności

ocenianie:
19-20 - celujący
16-19 - bardzo dobry
13-15 - dobry
10-12 - dostateczny
6-9 - dopuszczający
0-5 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:
Sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego lub powtarzający wiadomości z danego działu przed testem kompetencji. Zadania traktujemy jako otwarte, uczeń powinien przedstawić pełny tok rozumowania i obliczenia.

Grupa A (20 pkt)

Zad. 1. (2 pkt) Czy trójkąt o bokach długości 4, 8, 10 jest podobny do trójkąta o długościach boków a) 20, 8, 16, b) 1, 2.5, 2?

Zad. 2. (3 pkt) Kwadrat ABCD o boku długości 2 przekształcono w pewnej skali, otrzymując kwadrat A'B'C'D' o przekątnej długości 6. Oblicz skalę podobieństwa tych kwadratów.

Zad. 3. (3 pkt) Dany jest prostokąt ABCD o bokach długości 3 cm i 8 cm oraz podobny do niego prostokąt A'B'C'D' o polu równym 6 cm². Oblicz długości boków prostokąta A'B'C'D'.

Zad. 4. (2 pkt) Dwa trójkąty są podobne w skali 2:3. Pole mniejszego z nich wynosi 18 cm². Oblicz pole większego.

Zad. 5. (3 pkt) Pionowo rosnące drzewo rzuca cień o długości 63 m. W tym samym czasie wbity obok pionowo w ziemię pręt o długości 1,8 m rzuca cień długości 4,2 m. Oblicz wysokość drzewa.

Zad. 6. (2 pkt) Plan prostokątnej działki ma wymiary 4 cm x 5 cm. W rzeczywistości krótszy bok działki ma 60 m. Podaj pole powierzchni tej działki w arach.

Zad. 7. (3 pkt) W trójkącie ABC wysokość |CF| = 24 cm, a jego podstawa stanowi [tex]\frac{3}{4}[/tex] wysokości. Poprowadzono prostą DE równoległą do boku AB, która przecięła bok AC w punkcie E, a bok BC w punkcie D. Oblicz pole trapezu ABDE, wiedząc, że długość odcinka DE stanowi [tex]\frac{5}{6}[/tex] podstawy AB.

Zad. 8.* (2 pkt) Dwa okręgi o promieniach 3 cm i 8 cm są styczne wewnętrznie. Prosta MN przechodząca przez punkt styczności okręgów N wyznacza w każdym z okręgów cięciwę. Jedna z nich ma długość 5 cm. Jaką długość ma druga cięciwa? Ile rozwiązań ma to zadanie?

Grupa B (20 pkt)

Zad. 1. (2 pkt) Czy trójkąt o bokach długości 2, 7, 10 jest podobny do trójkąta o długościach boków a) 20, 14, 4,  b) 6, 21, 21?

Zad. 2. (3 pkt ) Trójkąt równoboczny ABC o boku długości 2 cm przekształcono w pewnej skali, otrzymując trójkąt A'B'C' o wysokości równej 3 cm. Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów.

Zad. 3. (3 pkt) Dany jest prostokąt ABCD o bokach długości 6 cm i 12 cm oraz podobny do niego prostokąt A'B'C'D' o polu równym 8 cm². Oblicz długości boków prostokąta A'B'C'D'.

Zad. 4. (2 pkt) Dwa trójkąty są podobne w skali 3:4. Pole większego z nich wynosi 24 cm². Oblicz pole mniejszego.

Zad. 5. (3 pkt) Pionowo rosnące drzewo rzuca cień o długości 4,8 m. W tym samym czasie wbity obok pionowo w ziemię pręt o długości 1,6 m rzuca cień długości 1,2 m. Oblicz wysokość drzewa.

Zad. 6. (2 pkt) Plan prostokątnej działki ma wymiary 3 cm x 5 cm. W rzeczywistości dłuższy bok działki ma 60 m. Podaj pole powierzchni tej działki w arach.

Zad. 7. (3 pkt) W trójkącie KLM wysokość |MN| = 12 cm, a jego podstawa stanowi [tex]\frac{3}{4}[/tex] wysokości. Poprowadzono prostą PQ równoległą do boku KL, która przecina bok LM w punkcie P i bok MK w punkcie Q. Oblicz pole trapezu KLPQ, wiedząc, że długość odcinka PQ stanowi [tex]\frac{5}{6}[/tex] podstawy KL.

Zad. 8*. (2 pkt) Dwa okręgi o promieniach 6 cm i 16 cm są styczne wewnętrznie. Prosta MN przechodząca przez punkt styczności okręgów N wyznacza w każdym z okręgów cięciwę. Jedna z nich ma długość 10 cm. Jaką długość ma druga cięciwa? Ile rozwiązań ma to zadanie?

odpowiedzi:

grupa A
1. a) - b) tak
2. √2:3 lub 3 :√2
3. 1,5 cm, 4 cm
4. 41,5 m²
5. 27 m
6. 45 a
7. 66 cm²
8. 13,(3) cm lub 1,875 cm

grupa B
1. a) tak b) nie
2. √3 :3 lub 3 :√3
3. 2 cm, 4 cm
4. 13,5 m²
5. 6,4 m
6. 21,6 a
7. 16,5 cm²
8. 26,(6) cm lub 3,75 cm
 

kryteria oceniania
1. a)-b) 1 pkt za odpowiedź z uzasadnieniem
2. 1 pkt za obliczenie boku lub przekątnej (wysokości), 1 pkt za iloraz, 1 pkt za odpowiedź
3. 1 pkt za obliczenie skali podobieństwa prostokątów, 1 pkt za obliczenie boków, 1 pkt za wynik z jednostką
4. 1 pkt za równanie, 1 pkt za odpowiedź z jednostką
5. 1 pkt za rysunek i wkazanie trójkątów podobnych, 1 pkt za ustalenie poprawnej proporcji, 1 pkt za odpowiedź
6. 1 pkt za wyznaczenie skali podobieństwa lub nieznanego boku, 1 pkt za poprawne przeliczenie jednostek
7. 1 pkt za obliczenie pola wyjściowego trójkąta lub jego wymiarów, 1 pkt za wyznaczenie pola trójkąta DEC / PQM lub wymiarów trapezu, 1 pkt za pole trapezu
8. 1 pkt za rysunek z uzasadnieniem podobieństwa trójkątów, po 0.5 pkt za obliczenie długości każdej cięciwy