Funkcje

Data ostatniej modyfikacji:
2009-11-20

Każda liczba naturalna jest równa swojemu podwojeniu

Niech x przyjmuje wartości naturalne, wtedy
x + x + ... + x = x2 /dx (po lewej stronie x występuje x razy)
1 + 1 + ... + 1 = 2x (po lewej stronie 1 występuje x razy)
x = 2x dla każdego x naturalnego.

***

Prosta i odcinek bez końców mają tyle samo punktów

Punkty prostej i punkty odcinka można ustawić w pary, tak że żaden nie pozostanie bez pary. Oznacza to, że punktów jest tyle samo na prostej, co na odcinku. Takie ustawienie w pary wyznacza np. funkcja y = tgx (patrz rysunek obok).

***

Funkcja rosnąca może mieć ujemną pochodną

Iloczyn funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.
Funkcje x-1, x-2, x-3 są wszystkie rosnące (bo pochodna każdej z nich jest równa 1).
Stąd f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x3 - 6x2 + 11x - 6 jest rosnąca.
Pochodna f '(x) = 3x2 - 12x + 11 jest więc zawsze dodatnia.
Ale f '(2) = 12 - 24 + 11 = -1.

***

1 nie jest granicą ciągu 1-1/n

Załóżmy nie wprost, że

$\lim_{n \to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1.$

Wtedy z definicji

$(\forall\varepsilon>0)(\exist k\in \mbox{I} \! \mbox{N})(\forall n > k)\left(\left|\left(1-\frac{1}{n}\right)-1\right|<\varepsilon\right)$

gdzie $ \mbox{I} \! \mbox{N}$ oznacza zbiór liczb naturalnych.

Mamy

$\lef| 1-\frac{1}{n}-1\right|< \varepsilon$

$\Downarrow$

$\lef| -\frac{1}{n}\right|< \varepsilon$

$\Downarrow$

$\frac{1}{n}< \varepsilon$   (1)

Podobnie, jako że $n+100 >n> k$, otrzymujemy

$\frac{1}{n+100}< \varepsilon$  (2)

Dalej, odejmując stronami (2) od (1), dostajemy

$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+100}<0$

$\frac{n+100-n}{n(n+100)}<0$

$\frac{100}{n(n+100)}<0$.

Mamy sprzeczność, bo licznik i mianownik ułamka są dodatnie, zatem cały ułamek jest dodatni.

W takim razie 1 nie jest granicą ciągu 1-1/n.

 

Funkcja rosnąca może mieć ujemną pochodną

Złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą, ale nie iloczyn!
Funkcja f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) wcale nie jest rosnąca.

Każda liczba naturalna...

Jak można mówić o pochodnej funkcji zdefiniowanej na zbiorze liczb naturalnych?

Powrót na górę strony