Geometria

Data ostatniej modyfikacji:
2008-07-22

Każdy odcinek ma długość zero

Odcinek jest złożony z punktów, punkt nie ma długości, suma zer jest zerem.

***

Każdy odcinek składa się z nieparzystej liczby punktów

Odcinek ma środek, który jest jego środkiem symetrii. Po jego lewej stronie jest tyle samo punktów, co po prawej (z własności symetrii), a środek jest bez pary.

***

Odcinek ma tyle samo punktów, co odcinek 2 razy dłuższy

Punkty jednego odcinka możemy ustawić w pary z punktami drugiego odcinka (jak na rysunku obok), tak że żaden nie zostanie bez pary, co znaczy, że punktów w obu odcinkach jest tyle samo. 

 

Odcinek ma długość zero

Najpierw trzeba wziąć definicję długości odcinka, bo trochę inaczej się na to patrzy: nie dodajemy punktów, a obliczamy moduł różnicy pomiędzy dwoma najbardziej wysuniętymi punktami odcinka (na osi liczbowej). Przynajmniej jest tak w 2-wymiarowych przestrzeniach euklidesowych ze standartowo zdefiniowaną odległością:)

Odcinek składa się z nieparzystej liczby punktów

Biorąc pod uwagę, że poruszamy sie w przestrzeni liczb rzeczywistych, to jakikolwiek odcinek byśmy wzięli, to pomiędzy jego końcami ZAWSZE znajduje sie nieskończenie wiele punktów, a nawet nieprzeliczalnie wiele :) Więc nie ma sensu mówić tutaj o liczbach parzystych, bądź nieparzystych:)

Odcinek ma tyle samo punktów, co odcinek 2 razy dłuższy

To jest prawda, biorąc pod uwagę, że odcineko długości a ma nieskończenie wiele punktów, to odcinek o długości 2a też. Z definicji trzeba by poprowadzić funkcję wzajemnie jednoznaczną z jednego odcinka w drugi, ale to już jest łatwe :)

Jasne, że łatwe

Oczywiście, że to łatwe, zwłaszcza że odpowiednie przyporządkowanie 1-1 jest pokazane na rysunku!

Definicja wymiarów punktów

Starsza literatura mówi o wymiarach punktów jako o "nieskończenie małych", ale nie zerowych. W ostatnich czasach nie używa się już tej definicji?

Bez róznicy

Nie ma chyba istotnej różnicy między tym, czy przyjmiemy, że punkt ma długość zero, czy nieskończenie małą. W praktyce to to samo. Bowiem nieskończona liczba zer (lub wielkości nieskończenie małych), zwłaszcza gdy jest to nieprzeliczalna nieskończoność, może dać coś niezerowego.

Odcinek bez długości

Definicja długości odcinka jako modułu różnicy końców jest przyjęta w klasycznej teorii miary. Starożytni Grecy nie posługiwali się nią. Nie znali pojęcia nieprzeliczalności i ciągłości (dlatego niektóre paradoksy czekały ponad 1500 lat na rozwiązanie).
W przykładzie z odcinkiem mowa jest o nieskończoności przeliczalnej, jaką operowali Grecy. Ale matematyka rozwiązała paradoksy za pomocą nowych pojęć: ciągłości i continuum. Odcinek, tak jak zauważył Młody, dla nas jest nieprzeliczalnym zbiorem, składa się z większej ilości punktów, niż jest wszystkich liczb naturalnych. Nie ma więc sensu mówienie o nieparzystej ilości punktów tworzących odcinek.

Niewymierność pi

Ostatnio przeglądałem podręcznik do kl. 2 gimnazjum i wyczytałem tam, że wszystkie dowody niewymierności liczby pi są bardzo skomplikowane. Postanowiłem więc podać dowód zrozumiały nawet dla małych dzieci z podstawówki. Oto on.
Gdy rozpatrujemy kolejne wielokąty foremne, widać, że one dążą do okręgu, więc okrąg jest wielokątem foremnym o nieskończonej liczbie boków. Zatem jego obwód jest niewymierny, bo nie można przecież zmierzyć ani obliczyć długości nieskończonej liczby boków! Stąd stosunek długości okręgu do średnicy jest niewymierny, bo jeśli podzielimy liczbę niewymierną przez dowolną liczbę różną od zera, to otrzymamy wynik niewymierny. Zatem liczba pi jest niewymierna. Chciałbym się dowiedzieć, czy powyższy dowód jest poprawny.

Podwójny błąd

Błąd w rozumowaniu Kuby jest podwójny. Po pierwsze: istnieje przecież wiele linii, które są granicami wielokątów, a mają długość wymierną, np. okrąg o długości 1. Po drugie: nieprawdą jest, że liczba niewymierna podzielona przez dowolną różną od zera jest niewymierna, np. \sqrt{2}/2\sqrt{2}.

Zgadzam się z Kubą

Moim zdaniem to jest dobry tok rozumowania, choć bardziej właściwe jest uznanie, że koło to zbiór nieskończonej ilości prostych i stąd powstaje niewymierność. Z tego bierze się cały galimatias z liczbą pi. Chyba na tym polega idealność koła. Najlepsze jest, że jeśli pi jest niewymierne, to tak na prawdę nie jesteśmy w stanie zweryfikować, czy dana figura jest rzeczywiście kołem, czy tylko figurą zbliżoną mniej lub bardziej do koła (ergo nie możemy obliczyć także pola koła). Ale chyba właśnie o to chodzi w idealności koła. Proszę o komentarz, czy taki tok rozumowania jest uprawniony.
Odpowiedź na post Kuby chyba jest chybiona co do pierwszego zagadnienia. A co do drugiego, to Kubie raczej chodziło o to, że jeżeli podzieli się liczbę niewymierną przez liczbę całkowitą, to wynikiem będzie liczbą niewymierną. Dlatego odpowiedź o dzieleniu liczby niewymiernej przez niewymierną nic nie wnosi do tematu (pi/pi = 1, ale co z tego, przecież pi/całkowita = liczba niewymierna).

Zamiast komentarza

Poprzednik prosił o komentarz do rozumowania. Problem polega na tym, że w tym, co napisał, nie ma w ogóle żadnego rozumowania. Matematycznie jest to totalny bełkot, więc co tu komentować.

Niewymierne

Nazwa "niewymierne" nie odnosi się do faktu, że czegoś nie potrafimy zmierzyć. Stąd te "dowody" są bez sensu. Swoją drogą tak naprawdę niczego nie można zmierzyć. Spróbuj narysować odcinek długości dokładnie jeden. Stawiam wszystkie pieniądze, że ci się nie uda. A nawet mogę się założyć, że jakkolwiek byś go narysował, to zawsze będzie to odcinek długości... niewymiernej.

Powrót na górę strony