Ostrosłupy* (kl. 2)

stopień trudności: 

• podwyższony, sprawdzian dla klas z rozszerzonymi treściami nauczania matematyki  
• zadanie z (*) jest obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam poziom

ocenianie:

21- 22 - celujący
17 - 20 - bardzo dobry
14 - 16 - dobry
11 - 13 - dostateczny
7- 10 - dopuszczający
0 - 6 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu: sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego, zadania traktujemy jako otwarte, uczeń powinien przedstawić pełny tok rozumowania, rysunki rzutów brył i obliczenia

grupa A (22 pkt)

Zad. 1. (4 pkt) Jaką długość ma wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 cm, a wysokość jest 9 cm?

Zad. 2. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o wymiarach 2√3 cm x 6 cm. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość 8 cm. Oblicz pole powierzchni przekroju ostrosłupa zawierającego przekątną podstawy i dwie przeciwległe krawędzie boczne.

Zad. 3. (4 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa [tex]\frac{16}{3}[/tex]. Przekrój płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej jest trójkątem prostokątnym. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość ostrosłupa.

Zad. 4. (4 pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 36 cm.

Zad. 5. (4 pkt) Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość, a kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy ma 30°. Oblicz objętość ostrosłupa.

Zad. 6*. (2 pkt) Cztery wierzchołki sześcianu o krawędzi a połączono odcinkami tak, że powstał czworościan foremny. Na ile części rozpadnie się sześcian po wycięciu z niego tego czworościanu? Oblicz objętość każdej z tych części.

grupa B (22 pkt)

Zad. 1. (4 pkt) Jaką długość ma wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 cm, a wysokość 9 cm?

Zad. 2. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o wymiarach 2√3 cm x 2√5 cm. Krawędzie boczne ostrosłupa mają długość 6 cm. Oblicz pole powierzchni przekroju ostrosłupa zawierającego przekątną podstawy i dwie przeciwległe krawędzie boczne.

Zad. 3. (4 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa [tex]\frac{8}{3}[/tex]. Przekrój płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej jest trójkątem prostokątnym. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość ostrosłupa.

Zad. 4. (4 pkt) Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 72 cm.

Zad. 5. (4 pkt) Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4 cm, a kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy ma 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.

Zad. 6*. (2 pkt) Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez trzy jego wierzchołki i nie zawierającą żadnej krawędzi. Oblicz stosunek objętości otrzymanych części, na jakie ta płaszczyzna podzieliła sześcian.

odpowiedzi grupa A:
1. √93 cm, 2. 4√39 cm², 3. krawędź podstawy=[tex]2\sqrt[3]{4}[/tex]; wysokość=[tex]\sqrt[3]{4}[/tex], 4. 18√2 cm³,5. 8 cm ³, 6. 5 części; 4 przystające o objętości [tex]\frac{1}{6} \ a^3[/tex], jedna o objętości [tex]\frac{1}{3} \ a^3[/tex].

odpowiedzi grupa B:
1. √82,(3) cm, 2. 4√14 cm², 3. krawędź podstawy=[tex]2\sqrt[3]{2}[/tex];wysokość=[tex]\sqrt[3]{2}[/tex], 4. 144√2 cm³, 5. 48√3 cm ³, 6. 1:5.

kryteria oceniania:
1. 1 pkt rysunek z zaznaczonymi danymi, 1 pkt za obliczenie długości potrzebnych odcinków, 1 pkt za równanie wynikające z twierdxzenia Pitagorasa, 1 pkt za wynik z jednostką, 2. 1 pkt za rysunek z zaznaczonymi danymi i przekrojem, 1 pkt za obliczenie przekątnej podstawy, 1 pkt za obliczenie wysokości ostrosłupa (przekroju), 1 pkt za wynik z jednostką, 3. 1 pkt za rysunek z zaznaczonym przekrojem, 1 pkt za zapis 'wysokość ostrosłupa = 1/2 krawędzi podstawy', 1 pkt za zapisanie objętości ostrosłupa za pomocą krawędzi podstawy lub wysokości, 1 pkt za podanie długości wysokości i krawędzi podstawy, 4. 1 pkt za wyznaczenie trójkąta prostokątnego do obliczenia wysokości czworościanu, 1 pkt za obliczenie wysokości czworościanu, 1 pkt za obliczenie objętości, 1 pkt za wynik z wyłączeniem czynnika przed znak pierwiastka, 5. 1 pkt za rysunek z zaznaczonym kątem i danymi, 1 pkt za  obliczenie wysokości podstawy i wyznaczenie trójkąta prostokątnego potrzebnego do obliczeń, 1 pkt za obliczenie wysokości ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa, 1 pkt za obliczenie objętości z jednostką, 6. gr. A: 0.5 pkt za rysunek, 0.5 pkt za określenie liczby i rodzaju powstałych części, 1 pkt za obliczenie objętości powstałych ostrosłupów; gr. B: 0.5 pkt za rysunek, 1 pkt za obliczenie objętości powstałego ostrosłupa i reszty sześcianu, 0.5 pkt za obliczenie stosunku.