Co to jest wielościan Szilassiego?

Data ostatniej modyfikacji:
2009-01-21

Kula jest najbardziej znaną bryłą obrotową, którą można otrzymać w wyniku obrotu koła (rys. 1) - każdy z łatwością wskaże prostą, wokół której należy obrócić koło, aby ją otrzymać. Ale kula to nie jedyna bryła obrotowa, którą można otrzymać, obracając koło. Jeżeli obrócimy je wokół prostej z nim rozłącznej (ale leżącej w zawierającej je płaszczyźnie), otrzymamy torus (rys. 2). Dobrym modelem torusa jest np. dętka rowerowa, obwarzanek lub amerykański pączek doughnut.

Rys. 1                                   Rys. 2

Na torus można również spojrzeć jako na efekt sklejania brzegów prostokąta. Najpierw sklejamy z prostokąta powierzchnię boczną walca, a następnie sklejamy otrzymane na brzegu okręgi. Oczywiście da się to zrobić tylko z prostokątnego kawałka gumy. Z papierowego prostokąta wykonać torusa nie sposób. Z łatwością można jednak podać przykłady wielościanów, które swoim kształtem przypominają torus. Używając zaawansowanej terminologii, powiedzielibyśmy, że są z nim topologicznie równoważne (czyli homeomorficzne). Oczywiście nie może to być żaden wielościan platoński czy archimedesowy, bo one nie mają "dziur". Ale dobrym modelem będzie sześcian z wydrążonym na przestrzał prostopadłościennym "kanałem" (rys. 3).

Rys. 3

Jeszcze bardziej przypominają torus wielościenne "ramki" z rys. 4, 5 i 6.

       

                Rys. 4                                          Rys. 5                                         Rys. 6

Są to tak zwane wielościany toroidalne, czyli powierzchnie ograniczone wielokątami i posiadające jedną "dziurę". Inny rodzajpowierzchni podobnych do torusa zwanych toroidami opisany jest na Portalu w dziale MAT-ŚWIAT, w artykule Zakręcone graniastosłupy (1) i (2).

Można się domyślać, że im więcej ścian użyjemy do zbudowania podobnych obręczy, tym bardziej będzie się ona upodobniać do prawdziwego torusa. Takie wielościany toroidalne można nawet budować w ten sposób, aby ich wszystkie ściany były wielokątami foremnymi (rys. 7, 8). Istnieją nawet przykłady zbudowane z samych trójkątów równobocznych (najmniejsza ich liczba to 36).

                                         

Rys. 7                                                                     Rys. 8

Interesujące jest jednak pytanie, idące niejako w przeciwnym kierunku: ile co najmniej ścian musi mieć wielościan, by był topologicznie równoważny torusowi.

Rysunek 4 przedstawia wielościan o zaledwie 9 ścianach. Czy może być ich mniej? Okazuje się, że tak. W roku 1977 węgierski matematyk Lajos Szilassi [wym. lojosz siloszszi] podał przykład wielościanu równoważnego z torusem, mającego tylko 7 ścian. Wielościan ten (nazywany dziś nazwiskiem jego odkrywcy) przedstawia rys. 9.

Rys. 9

Wszystkie jego ściany są wklęsłymi sześciokątami i każda graniczy z każdą inną (wśród wielościanów wypukłych taką własność ma tylko czworościan).

Wielościan Szilassiego może posłużyć jako ilustracja interesującego problemu kolorowania mapy na powierzchni torusa. W wielościanie tym każda ściana ma wspólną krawędź z inną ścianą. Jeżeli zatem chcemy, by sąsiadujące obszary miały różne kolory, to musimy użyć ich co najmniej 7. Okazuje się też, że 7 kolorów w zupełności wystarczy do pomalowania dowolnej mapy na powierzchni torusa. A ile kolorów potrzeba i wystarcza do pokolorowania dowolnej mapy na płaszczyźnie lub na sferze?

Kliknięcie w rys. 9 otwiera w nowym oknie plik VRML, co pozwala na swobodne obracanie bryły i oglądanie jej z każdej strony. Do przeglądania plików VRML potrzebna jest wtyczka do przeglądarki internetowej - np. Cortona, którą można bezpłatnie pobrać klikając tutaj. Więcej na temat VRML można przeczytać tutaj.

Rysunki 3-8 zostały wyeksportowane z programu Great Stella. Wizerunek wielościanu Szilassiego i plik VRML pochodzą z programu Euler3D.

A oto ciekawy matematyczny żyrandol w kształcie wielościanu Szilassiego wykonany przez Hansa Schepkera z Harrisville w USA. Został on zaprezentowany Szilassiemu w marcu 2006 roku podczas VII bienalle na cześć Martina Gardnera G4G7 (7th Gathering for Gardner) w Atlancie.

 

Pobrałam Eulera3D

Pobrałam program Euler3D i nie wiem, jak się nim obsługiwać. Jest w jakimś dziwnym języku. Jedyne co się dało na nim zrobić, to obracanie myszką trzech prostych (które były na ekranie od początku). Może jest jakaś polska wersja, niekoniecznie tego. Może być inny program, byle się w nim dało konstruować siatki.

Można zmienić język

Ten "dziwny" język, to zapewne węgierski. W programie można go zmienić na angielski, słowacki lub serbski. Na stronie programu można znaleźć (po węgiersku i angielsku) wprowadzenie do jego obsługi. Sporą bibliotekę siatek zawiera np. program PolyPro, rysunki siatek można też wykonać używając Wingeom.

Powrót na górę strony