Wielokąty i okręgi* (kl. 2)

stopień trudności:

• podwyższony, sprawdzian dla klas z rozszerzonymi treściami nauczania matematyki
• zadanie z (*) jest obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam poziom

ocenianie:
21- 22 - celujący
17 - 20 - bardzo dobry
14 - 16 - dobry
11 - 13 - dostateczny
 7-  10 - dopuszczający
 0 - 6  - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu: sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego

Grupa A (22 pkt)

Zad. 1. (4 pkt) W romb o przekątnych długości 10 cm i 24 cm wpisano koło. Oblicz obwód tego koła.

Zad. 2. (4 pkt) Wierzchołki trójkąta EFG leżą na okręgu o środku O. Przyjmując, że |[tex]\angle[/tex]EFG| = 80°, |[tex]\angle[/tex]EOG| = 110°, oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Zad. 3. (4 pkt) Oblicz kąt wewnętrzny dwudziestokąta foremnego. Czy istnieje wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 144,5°?

Zad. 4. (4 pkt) W trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych ma długość 6 cm, wpisano okrąg o promieniu 2 cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta.

Zad. 5. (4 pkt ) Pole sześciokąta foremnego jest równe 324√3 cm². Oblicz promień koła opisanego na tym sześciokącie.

Zad. 6*. (2 pkt) Na kole opisany jest trójkąt równoboczny i w to samo koło jest wpisany trójkąt równoboczny. Różnica długości boków tych trójkątów wynosi 6. Oblicz promień koła.

Grupa B (22 pkt)

Zad. 1. (4 pkt) Oblicz pole koła wpisanego w romb o przekątnych długości 6 cm i 8 cm.

Zad. 2. (4 pkt) Wierzchołki trójkąta ABC leżą na okręgu o środku O. Przyjmując, że | ACB|= 70°, |[tex]\angle[/tex]AOC|= 120°, oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Zad. 3. (4 pkt) Oblicz kąt wewnętrzny czterdziestokąta foremnego. Czy istnieje wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 165,5°?

 Zad. 4. (4 pkt) W trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych ma długość 8 cm, wpisano okrąg o promieniu 2 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Zad. 5. (4 pkt ) Pole sześciokąta foremnego jest równe 96√3 cm². Oblicz promień koła wpisanego w ten sześciokąt.

Zad. 6*. (2 pkt) W kwadrat ABCD wpisano koło. W to koło z kolei wpisano kwadrat tak, że jego boki są równoległe do boków poprzedniego kwadratu. Różnica pól tych kwadratów wynosi 2 cm². Oblicz pole koła.

odpowiedzi grupa A:
1. 9³/₁₃π cm, 2. 55°, 45°, 3. 171°, nie istnieje, 4. 8 cm, 10 cm, 5. 6√6 cm, 6.2√3 cm.

odpowiedzi grupa B:
1. 5,76π cm², 2. 60°, 50°, 3. 162°, nie istnieje, 4. 24 cm², 5. 4√3 cm, 6. π cm².

kryteria oceniania:
Zad. 1.  1 pkt za obliczenie boku rombu; 1 pkt za ustalenie, że promień okręgu to połowa wysokości; 1 pkt za wyliczenie wysokości rombu z wykorzystaniem dwóch wzorów na pole; 1 pkt za poprawny wynik.
Zad. 2. 1 pkt za rysunek z zaznaczonymi danymi; 2 pkt za obliczenie kątów; 1 pkt za uzasadnienie z twierdzenia o kątach wpisanych i środkowych lub własności trójkątów równoramiennych.
Zad. 3. 1 pkt za metodę obliczenia kąta wewnętrznego; 1 pkt za rachunki, 1 pkt za wynik;  1 pkt za odpowiedź z uzasadnieniem.
Zad. 4. 2 pkt za rysunek z zaznaczonymi danymi z uwzględnieniem przystawania odcinków na mocy własności dwusiecznej; 1 pkt za zastosowanie twierdzenia Pitagorasa; 1 pkt za wynik.
Zad. 5. 1 pkt za ustalenie, że promień jest taki, jak bok sześciokąta;1 pkt za obliczenie pola trójkąta równobocznego; 1 pkt za obliczenie promienia (ze wzoru na pole trójkąta); 1 pkt za obliczenia, zapis z wyłączeniem czynnika przed nawias.
Zad. 6. 1 pkt za ustalenie związku promienia z wysokościami trójkątów; 1 pkt za wynik.