Wyrażenia algebraiczne* (kl. 2)

stopień trudności:

• podwyższony, sprawdzian przeznaczony dla klas z rozszerzonymi treściami z matematyki
• zadanie z (*) jest obowiązkowe na ocenę celującą
• grupy A i B mają ten sam poziom

ocenianie:
24-25 - celujący
20-23- bardzo dobry
16-19 - dobry
12-15- dostateczny
8-11  - dopuszczający
0-7 - niedostateczny

czas pisania: 45 minut

typ sprawdzianu:

• sprawdzający wiadomości po zakończeniu działu tematycznego, uczeń powinien przedstawić rachunki, a w zadaniach z treścią  - tok rozumowania i uzasadnienie
• może być wykorzystany jako powtórzenie wiadomości z danego działu przed testem kompetencji, wtedy można go potraktować jako test krótkiej odpowiedzi, w którym uczeń podaje tylko ostateczne wyniki

grupa A  (25 pkt)

Zad. 1. (3 pkt) Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego.
a) liczba o 15 większa od k,
b) dla liczby k>0, liczba k razy większa niż 7
c) różnica kwadratów liczb x i y

Zad. 2. (3 pkt) Przedstaw wyrażenia w najprostszej postaci.
a) (–4y) – (1–7y) + (2y–3)
b) 2a(3a+5b) + 5(a² – 2ab)
c) (2z + 3)(z – 2)

Zad. 3. (2 pkt) Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
a) 10b– 25bc
b) 4x² + 2xy –xy²

Zad. 4. (2 pkt) Oblicz wartość liczbową wyrażenia 2(x – 4) + (–x – 8) – 2y dla x = –7, y = 0,5.

Zad. 5. (2 pkt) Przekształć na sumę algebraiczną i zapisz w najprostszej postaci
(6 +2√21)(√3 – √7).

Zad. 6. (1 pkt) Uporządkuj jednomian 3ab(–2)a²b⁶√2a².

Zad. 7. (1 pkt) Oblicz średnią arytmetyczną trzech kolejnych liczb całkowitych, z których najmniejszą jest n+2.

Zad. 8. (1 pkt) Zapisz w postaci sumy algebraicznej iloczyn dwóch kolejnych liczb nieparzystych poprzedzających liczbę 2n+1.

Zad. 9. (2 pkt) Zapisz w najprostszej postaci (a – 3)² – (a + 4)(4 – a) – 6(1 – a)².

Zad. 10. (2 pkt) O ile większa jest liczba o 100% większa od x+1 od liczby o pięć mniejszej od x–1?

Zad. 11. (2 pkt) Dany jest kwadrat o boku m cm. Jak zmieni się pole figury, jeżeli jeden bok wydłużymy o 1 cm, a sąsiedni bok skrócimy o 2 cm?

Zad. 12. (2 pkt) Od kwadratu pewnej liczby dwucyfrowej x odejmujemy kwadrat liczby powstałej z przestawienia cyfr liczby x. Wykaż, że otrzymana liczba jest podzielna przez 99.

Zad. 13*. (2 pkt) Liczby m i n są naturalne i żadna z nich nie jest podzielna przez 3. Udowodnij, że różnica m²– n² jest podzielna przez 3.

grupa B  (25 pkt)

Zad. 1. (3 pkt) Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego.
a) dla liczby k>0, liczba 15 razy większa niż k
b) liczba o k większa od 7
c) kwadrat różnicy liczb x i y

Zad. 2. (3 pkt) Przedstaw wyrażenia w najprostszej postaci.
a) -5y + (1 - 7y) – (2y – 3)
b) 2(3a²+ 5ab) + 5a(a – 2b)
c) (z - 3)(2z + 4)

Zad. 3. (2 pkt) Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
a) 12c – 8bc
b) 3y² + 6xy –x²y

Zad. 4. (2 pkt) Oblicz wartość liczbową wyrażenia -3(x –2) + (-x - 6) – 4y dla x=-7, y=0,5.

Zad. 5. (2 pkt) Przekształć na sumę algebraiczną i zapisz w najprostszej postaci
(6+ √6) (6√2 – 4√3).

Zad. 6. (1 pkt) Uporządkuj jednomian ab(–2)a²b⁶√3b².

Zad. 7. (1 pkt) Oblicz średnią arytmetyczną trzech kolejnych liczb całkowitych, z których największa jest n-2.

Zad. 8. (1 pkt) Zapisz w postaci sumy algebraicznej iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych następujących po liczbie 2n+1.

Zad. 9. (2 pkt) Zapisz w najprostszej postaci (a – 4)² –2(1 – a)² - (a + 3)(3 – a).

Zad. 10. (2 pkt) O ile większa jest liczba o 5 większa od 2x + 2 od liczby o 50% większej od x–2?

Zad. 11. (2 pkt) Dany jest kwadrat o boku m cm. Jak zmieni się pole figury, jeżeli jeden bok wydłużymy o 4 cm, a sąsiedni bok skrócimy o 1 cm?

Zad. 12. (2 pkt) Od kwadratu pewnej liczby dwucyfrowej y odejmujemy kwadrat liczby powstałej z przestawienia cyfr liczby y. Wykaż, że otrzymana liczba jest podzielna przez sumę cyfr liczby y.

Zad. 13*. (2 pkt) Liczba n jest całkowita. Udowodnij, że różnica n³–n jest podzielna przez 6.

odpowiedzi grupa A:
1. a) k+15,   b) 7k,   c) x²- y²
2. a) 5y - 4,   b) 11a²,   c) 2z²- z - 6
3. a) 5b(2-5c),   b) x(4x+2y-y²)
4. -3x-2x, wartość 20
5. -8√3
6. -6√2a⁵b⁷
7. n+3
8. 4n²- 8n+3
9. -4a²- 6a - 13
10. x+8
11. zmniejszy się o m+2

odpowiedzi grupa B:
1. a) 15k,   b) k+7,   c) (x-y)²
2. a) -14y+4,   b) 11a²,   c)  2z²- z - 12
3. 4c(3-2b),   b) y(3y+6x-x²)
4. -4x-4y, wartość 26
5. -12√3+24√2
6. -8√3a³b¹⁰
7. n-3
8. 4n²+12n+8
9. -4a+5
10. o 0,5x+10
11. zwiększy się o 4m-4

kryteria oceniania:
1-2. a-c po 1 punkcie za poprawne odpowiedzi
3. a-b po 1 punkcie za poprawne odpowiedzi
4. 1 pkt za postać zredukowaną, 1 pkt za wynik liczbowy
5. 1 punkt za poprawne wymnożenie, 1 pkt za wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka i redukcję
6-8. 1 punkt za poprawny wynik
9. 1 punkt za poprawne wymnożenie nawiasów, 1 pkt za poprawny wynik
10. 1 punkt za postać liczb, 1 punkt za poprawny wynik
11. 1 punkt za wykonanie odejmowania, 1 punkt za odpowiedź (zmniejszy się o m+2 / zwiększy się 4m-4)
12. 1 punkt za zapisanie warunków zadania w postaci ilorazu, 1 pkt za przekształcenie do postaci (a-b)⁹⁹
13. gr. A) 1 pkt za zauważenie, że kwadrat dowolnej liczby z dzielenia przez 3 daje resztę 0 lub 1; 1 punkt za zastosowanie do sytuacji z zadania
13. gr. B) 1 pkt za zapis n³– n w postaci (n-1)n(n+1), 1 punkt za zauważenie, że iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez 2 i 3