Zadania 101-110

Jeśli rozważymy w układzie współrzędnych kwadrat o przeciwległych wierzchołkach (0, 0) i (1, 1) oraz dwa punkty P (x₁, y₁) i Q (x₂, y₂), to podane wyrażenie opisuje długość sieci połączeń pomiędzy wierzchołkami tego kwadratu o rozgałęzieniach w P i Q (patrz rysunek obok). Wiadomo, że aby łączna długość takiej sieci była najmniejsza, P i Q muszą być tzw. punktami Steinera, czyli odcinki wychodzące z każdego z nich muszą tworzyć kąty po 120°. Łatwo wówczas obliczyć, że długość takiej sieci wynosi
4√3/3 + (1–√3/3) = 3√3/3 + 1.

Podaj liczbę 10-cyfrową składającą się z 10 różnych cyfr i mającą taką własność, że liczba utworzona z pierwszych 2 cyfr dzieli się przez 2, z pierwszych 3 cyfr dzieli się przez 3, z pierwszych 4 cyfr dzieli się przez 4 itd. z pierwszych 9 cyfr dzieli się przez 9 a z 10 cyfr dzieli się przez 10.

Szukana liczba to 3816547290 i jako jedyna spełnia wszystkie warunki zadania. Czy taka krótka odpowiedź wystarczy (w treści poleceniem było "podaj"), czy może powinienem jednak zamieścić jeszcze szczegółowe uzasadnienie jedyności rozwiązania zaproponowanego zadania?

Uzasadnienie nie jest trudne. Uznajemy rozwiązanie i prosimy o kolejne zadanie.

W kwadracie wyznaczyć odcinki łączące ustalony wierzchołek z punktem na przekątnej nie przechodzącej przez ten wierzchołek takie, że ich długość jest średnią kwadratową długości odcinków, na które została podzielona ta przekątna.

Żądaną własność ma dowolny punkt na przekątnej, a właściwie dowolny na jednej połowie przekątnej, bo dla punktów z drugiej połowy otrzymujemy jako stosunek odcinków liczbę odwrotną.
Niech A, B, C to wierzchołki trójkąta prostokątnego stanowiącego połowę kwadratu, przy czym kąt prosty jest w wierzchołku C. Niech X będzie dowolnym punktem na przeciwprostokątnej. Z warunków zadania szukamy takiego położenia punktu X, aby zachodził warunek CX = [tex]\sqrt{\frac{AX^2+BX^2}{2}}[/tex], czyli równoważnie AX² + BX² = 2CX². Dla uproszczenia zapisu oznaczmy długość boku kwadratu przez a, a długość odcinka AX przez x. Wówczas z twierdzenia kosinusów mamy CX² = x² + a² – 2ax√2/2. Podstawiając to do zależności z zadania, otrzymujemy równanie x² + (a√2–x)² = 2x² + 2a² – 2√2ax. Po uproszczeniu zauważamy, że jest to równanie tożsamościowe, czyli spełnione dla każdego x. Stąd odpowiedź.

1<M<N<100 są liczbami naturalnymi. Sokrates zna jedynie sumę S tych liczb, a Platon - jedynie ich iloczyn P. Podsłuchano następujący dialog Sokratesa z Platonem.
P: Nie wiem, o jakie liczby chodzi.
S: Wiedziałem, że nie będziesz wiedział. Ja również nie wiem, jakie to liczby.
P: Teraz już wiem.
S: Ja też teraz już wiem.
A czy Ty wiesz, jakie to mogły być liczby?

Zauważmy, że odpadają liczby pierwsze, ponieważ Platon, znając iloczyn liczb, od razu znałby rozwiązanie (jednoznaczny rozkład na dwuczynnikowy iloczyn).

Przeprowadźmy dokładną analizę poszczególnych wypowiedzi z przytoczonej rozmowy.

1. Platon: Nie wiem, o jakie liczby chodzi.

Ze słów tych wynika, że wartość P, którą zna Platon, nie może mieć jednoznacznego rozkładu na dwa czynniki, więc nie może być iloczynem dwóch liczb pierwszych (co zauważył już wcześniej Kartezjusz) ani sześcianem liczby pierwszej, bo wtedy Platon wiedziałby od razu, o jakie liczby chodzi. Zatem iloczyn P musi mieć co najmniej dwa różne rozkłady na dwa czynniki (tzn. musi być wieloznaczny).

2. Sokrates: Wiedziałem, że nie będziesz wiedział. Ja również nie wiem, jakie to liczby.

Oznacza to, że liczba S, którą zna Sokrates, nie powstaje jako suma dwóch liczb pierwszych tylko w jeden sposób (bo inaczej Platon mógłby czynniki znać, a Sokrates wiedział, że ich nie zna). Tym samym wiadomo, że S jest liczbą nieparzystą (każdą liczbę parzystą można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych), a wśród możliwych wartości nieparzystych S nie mogą znaleźć się te, które są sumami dwójki i jakiejś innej liczby pierwszej, np. 7=2+5 czy 9=2+7. Zatem S to jedna z liczb: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, ..... , 197.

3. Platon: Teraz już wiem.

Z wypowiedzi tej wyciągamy wniosek, że ze wszystkich możliwych rozkładów P na dwa czynniki, tylko jedna suma czynników należy do wyżej wypisanego ciągu. Poczyńmy jeszcze następujące spostrzeżenie: Jeśli P jest iloczynem różnej od jedności potęgi dwójki oraz dowolnej nieparzystej liczby pierwszej, takim że suma tych dwóch czynników należy do rozpatrywanego ciągu, to bierzemy pod uwagę jedynie tę właśnie parę.

4. Sokrates: Ja też teraz już wiem.

Kiedy Sokrates będzie wiedział? Wtedy, gdy jego sumę dać może tylko jedna "platońska" para. Rozważając kolejne przypadki, sprawdzamy, że S=11 jest złe (co prawda suma jest wieloznaczna i generuje cztery wieloznaczne iloczyny P=18, P=24, P=28 oraz P=30, ale ten ostatni jest niedobry, bo generuje trzy sumy, z których aż dwie są w ciągu S=11 i S=17). Z kolei dla S=17 w analogiczny sposób można stwierdzić, że szukanymi liczbami są M=4 i N=13.

Dla dowodu jednoznaczności rozwiązania należałoby sprawdzić pozostałe wyrazy ciągu. Jest ich 97-43=54 (różnica ilości liczb nieparzystych zawartych pomiędzy 5=2+3 a 197=98+99 oraz ilości liczb pierwszych nie mniejszych od 3=5-2 i nie większych od 195=197-2). Można jednak ograniczyć się tylko do tych wartości S, których nie da się przedstawić wieloznacznie jako sumy ze spostrzeżenia.

Proszę o sprawdzenie poprawności mojego toku rozumowania.

Dlaczego m i n nie mogą obie być parzyste?

Rozwiązanie podane przez Roberta C. zawiera błędy w kroku 2.

• Przede wszystkim nie jest prawdą, że każdą liczbę parzystą można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych. Jest to treść słynnej hipotezy Goldbacha, która nie została udowodniona od 1742 roku. Została jednak sprawdzona dla ogromnej ilości kolejnych liczb parzystych, zatem dla małych wartości można uznać, że zachodzi.
• Autor nie wytłumaczył należycie, dlaczego S musi być nieparzyste. Liczba parzysta nie musi być przecież sumowana ze składników pierwszych. Jeśli Sokrates zna np. liczbę S=18, to także nie ma pewności, że Platon zna jednoznaczny iloczyn składników pierwszych 5+13 lub 7+11, bo mógłby to być równie dobrze iloczyn składników 10+8 lub 2+16, który nie jest jednoznaczny. Prosimy zatem o właściwe umotywowanie nieparzystości S.
• Dalsza część rozwiązania (kolejne sprawdzanie wartości S z ustalonego ciągu) nie budzi zastrzeżeń, a znalezione wartości M i N są najmniejszymi spełniającymi warunki zadania. Dowód jednoznaczności rozwiązania nie był wymagany.

I wypowiedź. Tu już wcześniej słusznie zauważono fakt, że liczba nie może być iloczynem dwóch liczb pierwszych, więc nie będę się rozdrabniał.

II wypowiedź. Ponieważ Sokrates powiedział "Wiedziałem, że nie będziesz wiedział" musiał być pewny tego, że ta liczba nie może być sumą dwóch liczb pierwszych, ale nie tylko. Po pierwsze trzeba zauważyć, że np. liczba 174 jest sumą liczb 103 i 71, ale jedna z tych liczb wykracza poza zakres, zatem liczba ta musi być włączona do liczb które mógł mieć na myśli Sokrates. Okazuje się, że jest kilka takich liczb (174, 182, 184, 188, 190, 192, 194). Te liczby parzyste dołączą do tych, których nie da się przedstawić za pomocą sumy dwóch liczb pierwszych. Łącznie daje to 79 możliwych liczb dla Sokratesa.

III wypowiedź. Platon oczywiście przeprowadza podobne rozumowanie i stwierdza, że już wie. Zatem z wyznaczonych 79 liczb musimy utworzyć iloczyny składników i odrzucić te, które występują co najmniej dwa razy. Daje to łącznie 1540 iloczynów (18, 24, 28 .... , 9506). Jeden z nich musiał znać Platon, bo gdyby znał któryś z powtarzających się, nie mógł by odgadnąć dwóch szukanych liczb.

IV wypowiedź. Sokrates stwierdzi, że również zna wynik. Będzie tak wtedy, gdy będzie miał sumę, dla której istnieje tylko jeden z tych 1540 iloczynów. Tak się składa, że jedynie dla sumy 17 istnieje jeden iloczyn którym jest 52.

Zatem szukane liczby to 13 i 4.

To, że liczba nie może być iloczynem liczb pierwszych, nie oznacza, że nie może być ich sumą. Szukane liczby mogą być obie parzyste.

Gdy Sokrates powiedział "Wiedziałem, że nie będziesz wiedział" musiał być pewny tego, co mówi. Platon mógłby wypowiedzieć zdanie "Wiem, jakie to liczby" tylko wtedy, gdyby jego liczba była iloczynem dwóch liczb pierwszych. Zatem Sokrates nie mógł mieć sumy, którą da się przedstawić za pomocą dwóch liczb pierwszych, bo nie miałby pewności, czy właśnie te dwie liczby pierwsze są szukanymi. Liczba 18 da się przedstawić jako 11+7 lub 13+5, a Platon mógł otrzymać iloczyn 77 lub 65, jednak w każdym wypadku wiedziałby, jakie liczby są szukanymi. Dlatego gdyby Sokrates powiedział zdanie "Wiedziałem, że nie będziesz wiedział" mając liczbę dającą się przedstawić za pomocą sumy dwóch liczb pierwszych, to skłamałby, bo nie mógł mieć takiej pewności.

Sprecyzuję. Na przykład 18=12+6. Dlaczego nie może być to suma dwóch liczb złożonych?

Oczywiście, że mogłaby to być suma dwóch liczb złożonych, ale musimy pamiętać, że Sokrates widzi sumę tych dwóch liczb, a nie owe dwie liczby. Może być to suma dwóch liczb złożonych, ale tylko wtedy, gdy sumy tych dwóch liczb nie da się przedstawić za pomocą dwóch liczb pierwszych. Tak jak wspomniałem wcześniej, Sokrates był pewny, że Platon nie będzie wiedział, dlatego nie mogła być to suma 18, bo była szansa, że w takim wypadku szukanymi są dwie liczby pierwsze, a skoro tak, to Platon by je znał. Skoro (na przykładzie 18) istnieje ryzyko, że chodzi o parę liczb 11 i 7, to wraz z nią pary 16 i 2, 15 i 3, 14 i 4 itd.. mogą zostać odrzucone, bo Sokrates zobaczy tylko ich sumę.

To tym bardziej nie mają wiedzy o swoich liczbach. A takie liczby, które hipotetycznie mogą być obie złożone, utrudniają zagadkę obu panom.

W nieodrzuconej sumie (np. 17=9+8) mamy pary liczb złożonych, więc dalej Sokrates z Platonem muszą rozpatrywać również taką możliwą parę liczb. Należy również pamiętać, że rozmowa potoczyła się w ten sposób, a nie inny, bo bohaterowie znali swoje liczby. Zaś odrzucenie sum, gdzie możliwa jest suma dwóch liczb pierwszych, nie tyle utrudnia zagadkę obu panom, co kompletnie zmienia treść zagadki.

Co z tym robimy, bo maraton wydaje się martwy od października. Może niech redakcja poda kolejne zadanie i pomińmy to nieszczęsne 104, bo nikt go nigdy nie rozwiąże. Minęło już pół roku. A może odezwie się autor zadania.

Mam pomysł : Niech redakcja poda kolejne pytanie pomijając to nieszczęsne, ponieważ tak nikt nigdy go nie rozwiąże a minęło już pół roku od tego zadania.

Ponieważ pierwsza wypowiedź Sokratesa zawiera informację z pierwszej wypowiedzi Platona, rozważania możemy zacząć od pierwszej wypowiedzi Sokratesa.

Liczba S wynosi co najmniej 2+3=5, a co najwyżej 98+99=197. Z pierwszej wypowiedzi Sokratesa wynika, że liczby S nie da się przedstawić w postaci sumy składników M i N, będących jedynym rozkładem na czynniki liczby MN spełniającym warunki zadania. Zatem ze zbioru {5, 6, 7, ..., 196, 197} możliwych wartości S odrzucamy liczby, które da się przedstawić w postaci sumy takich składników M i N.

Dla S=197 jest M=98 oraz N=99. Gdybyśmy czynnik N zastąpili mniejszym, to czynnik M musielibyśmy zastąpić większym, co uniemożliwia założenie M<N. Nie możemy też czynnika  N zastąpić większym, bo N<100.

Dla S=194 jest M=96 oraz N=98. Zmniejszając czynnik N, zwiększylibyśmy czynnik M, a to przeczyłoby założeniu M<N. Czynnika N nie zwiększymy do 99, bo liczba 11 występująca w rozkładzie 99 nie występuje w rozkładzie 96 ani 98. Zatem zwiększając czynnik N, przekraczamy 99, co przeczy założeniu N<100.

Dla S[tex] \in[/tex]{99, 100, ..., 196}\{194} jeden ze składników M lub N może wynosić 97, które jest liczbą pierwszą. Wtedy albo drugi ze składników jest liczbą pierwszą i mamy od razu jednoznaczny rozkład liczby MN na czynniki, albo jest liczbą złożoną i wtedy w innym rozkładzie na czynniki m i n liczby MN jedna z liczb m lub n wynosi 97q, gdzie 1<q<Q i q jest dzielnikiem Q, które jest tą z liczb M lub N, która jest różna od 97. Wtedy jednak q≥2, więc 97q≥194, co przeczy m<n<100.

Dla S[tex] \in[/tex]{55, ..., 98} może być N=53, a 53 jest liczbą pierwszą. Wtedy albo M jest pierwsze i mamy od razu jednoznaczny rozkład liczby MN na czynniki, albo M jest złożone i wtedy w innym rozkładzie na czynniki m i n liczby MN liczba n wynosi 53q, gdzie q jest dzielnikiem M i 1<q<M. Wtedy jednak q≥2, więc 53q≥106, co przeczy n<100.

Dla S=51 może być może być M=17 i N=34=2·17. Ponieważ 2 i 17 są pierwsze, inny rozkład liczby MN na czynniki może mieć jedynie postać m=2 i n=17·17=289, co przeczy n<100.

Dla S=6 mamy M=2 i N=4. Ponieważ MN=2³ oraz ze względu na 1<M<N, to jest jednoznaczny rozkład liczby MN na czynniki.

Dalej następujące liczby S można przedstawić jako sumę liczb pierwszych M i N (wówczas jest jednoznaczny rozkład liczby MN na czynniki): 5=2+3, 7=2+5, 8=3+5, 9=2+7, 10=3+7, 12=5+7, 13=2+11, 14=3+11, 15=2+13, 16=3+13, 18=5+13, 19=2+17, 20=3+17, 21=2+19, 22=3+19, 24=5+19, 25=2+23, 26=3+23, 28=5+23, 30=7+23, 31=2+29, 32=3+29, 33=2+31, 34=3+31, 36=5+31, 38=7+31, 39=2+37, 40=3+37, 42=5+37, 43=2+41, 44=3+41, 45=2+43, 46=3+43, 48=5+43, 49=2+47, 50=3+47, 52=5+47, 54=7+47. Wszystkie wymienione wartosci należy odrzucić ze zbioru {5, 6, ..., 197}. Na tym etapie zbiór możliwych wartości S ma postać {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}. Sokrates w swojej pierwszej wypowiedzi informuje nas, że liczba S należy właśnie do tego zbioru. Słowa Sokratesa "Ja również nie wiem, jakie to liczby." nie wnoszą tu nic nowego. Oznaczają tylko, że S można różnie rozłożyć na sumę M i N, czyli że S[tex]\not\in[/tex] {5, 6, 196, 197}.

Różne rozkłady liczy S na składniki M i N generują różne ich iloczyny P. Mamy:

• S=11, P[tex]\in[/tex]{18, 24, 28, 30}
• S=17, P[tex]\in[/tex]{30, 42, 52, 60, 66, 70, 72}
• S=23, P[tex]\in[/tex]{42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132}
• S=27, P[tex]\in[/tex]{50, 72, 92, 110, 126, 140, 152, 162, 170, 176, 180, 182}
• S=29, P[tex]\in[/tex]{54, 78, 100, 120, 138, 154, 168, 180, 190, 198, 204, 208, 210}
• S=35, P[tex]\in[/tex]{66, 96, 124, 150, 174, 196, 216, 234, 250, 264, 276, 286, 294, 300, 304, 306}
• S=37, P[tex]\in[/tex]{70, 102, 132, 160, 186, 210, 232, 252, 270, 286, 300, 312, 322, 330, 336, 340, 342}
• S=41, P[tex]\in[/tex]{78, 114, 148, 180, 210, 238, 264, 288, 310, 330, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418, 420}
• S=47, P[tex]\in[/tex]{90, 132, 172, 210, 246, 280, 312, 342, 370, 396, 420, 442, 462, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 546, 550, 552}
• S=53, P[tex]\in[/tex]{102, 150, 196, 240, 282, 322, 360, 396, 430, 462, 492, 520, 546, 570, 592, 612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702}.

Platon, usłyszawszy wypowiedź Sokratesa, stwierdza, że teraz już zna liczby M i N. Jest to równoważne temu, że zna liczbę S. Oczywiście znając M i N, można obliczyć S i P, ale jest również na odwrót - znając S i P, można obliczyć M i N, na przykład rozwiązując równanie kwadratowe x²-Sx+P=0, gdyż
(x-M)(x-N) = x²-Nx-Mx+MN = x²-(N+M)x+MN = x²-Sx+P. Zatem z podanej wyżej listy wartości S i P można usunąć te wartości P, które się powtarzają przy różnych wartościach S, bo Platon nie mógł ich mieć, gdyż w przeciwnym razie nie wiedziałby, którą wartość S ma Sokrates.

Kiedy pozostawimy tylko wartości P występujące jednokrotnie, powyższa lista przyjmuje postać: 

• S=11, P[tex]\in[/tex]{18, 24, 28}
• S=17, P[tex]\in[/tex]{52}
• S=23, P[tex]\in[/tex]{76, 112, 130}
• S=27, P[tex]\in[/tex]{50, 92, 110, 140, 152, 162, 170, 176, 182}
• S=29, P[tex]\in[/tex]{54, 100, 138, 154, 168, 190, 198, 204, 208}
• S=35, P[tex]\in[/tex]{96, 124, 174, 216, 234, 250, 276, 294, 304, 306}
• S=37, P[tex]\in[/tex]{160, 186, 232, 252, 270, 336, 340}
• S=41, P[tex]\in[/tex]{114, 148, 238, 288, 310, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418}
• S=47, P[tex]\in[/tex]{172, 246, 280, 370, 442, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 550, 552}
• S=53, P[tex]\in[/tex]{240, 282, 360, 430, 492, 520, 570, 592,
  612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702}.

Platon w swojej drugiej wypowiedzi informuje nas, że liczba P jest właśnie jedną z wypisanych powyżej. A Sokrates, usłyszawszy wypowiedź Platona, mówi, że także już zna liczby M i N, a to jest równoważne temu, że zna już ich iloczyn P. Zatem z powyższej listy usuwamy te wartości S (wraz z odpowiadającymi im wartościami P), którym jest przyporządkowana więcej niż jedna wartość P, bo gdyby Sokrates miał jedną z tych wartości, nie wiedziałby, którą wartość P ma Platon. Po zaktualizowaniu listy zostaje w niej tylko jedna para S=17 i P=52. Jest to więc jedyna para (S, P) spełniająca warunki zadania, czyli jedyna, jaką mogli mieć Sokrates i Platon. Stąd otrzymujemy jedyne rozwiązanie M=4 i N=13.

Wiedziałem, ze ilość rachunków w tym zadaniu jest skończona i przez to wykonalna, ale nie myślałem, że ktoś się zaprze i to przerachuje. Chytrego rozwiązania nie znam.

W prostokącie ABCD poprowadzono przekątną BD. W trójkąty ABD i BCD wpisano odpowiednio okręgi o₁ i o₂. Niech P₁ będzie punktem styczności okręgu o₁ z prostą AD, S₁ środkiem okręgu o₁, a Q₂ punktem styczności okręgu o₂ z prostą BD. Punkty P₁, S₁ i Q₂ są współliniowe. Oblicz iloraz |AD|/|BD|.

Geometria w tym zadaniu nie jest trudna. Niech a i b to długości boków prostokąta, a reszta oznaczeń - jak na rysunku.

Ponieważ trójkąty ABD i CBD są przystające, okręgi weń wpisane też są przystające. Odcinki czerwone i niebieskie mają równe długości (niebieskie b-r, czerwone a-r), bo są styczne do okręgów i wychodzą z tych samych punktów. Trójkąty ABD i Q₂'BQ₂ są podobne (cecha kkk), zatem szukana wielkość x = |AD|/|BD| = |Q₂Q₂'|/|Q₂'B| = ^r/_a-r = sinα, a stąd ¹/_x = ^a-r/_r = ^a/_r -1, czyli ^a/_r = ¹/_x+1. Natomiast ^a/_b = tgα.

Mamy wobec tego x = ^|AD|/_|BD| = ^a/_a-r+b-r = ^a/_a+b-2r, czyli
¹/_x = ^a+b-2r/_a = 1 + ^b/_a -^2r/_a = 1 + 1/tgα -²/_1/x+1.
Kąt α jest ostry, korzystamy więc z tożsamości tgα = ^sinα/√(1-sin²α) i podstawiamy do powyższego równania, otrzymując ¹/_x = 1 + √(1-x²)/x - ²/_1/x+1.
Wystarczy teraz równanie uprościć, np. do postaci √(1-x²) +x -2x²/_1+x -1 = 0 i... (bagatela!) rozwiązać.

Istnieje rozwiązanie tego równania w przedziale (0, 1), co widać z wykresu lewej strony. W przybliżeniu wynosi x≈ 0,54368901. Dokładne rachunki pozostawię jakiemuś magikowi biegłemu w algebrze.

Reasumując, dokładna wartość szukanego stosunku to [tex]\frac{3}{\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+1}[/tex].

Czy to jest wyliczone komputerowo, czy "ręcznie"? A jeśli ręcznie, to jak? Trzeba chyba użyć wzorów Cardano na pierwiastki równania trzeciego stopnia. Czy nie trzeba?

Upraszczając ostatnie równanie, które zapisała Dominika, dochodzimy do postaci x³+x²+x–1=0. Równanie to nie ma pierwiastków wymiernych (co można sprawdzić z tw. Bézouta), ma jeden pierwiastek rzeczywisty, a pozostałe dwa są zespolone. Ten rzeczywisty trudno jest znaleźć, co wymusza skorzystanie ze wzoru Cardana (to gotowe wzory z "deltą" na pierwiastki równania trzeciego stopnia). Po podstawieniu do wzoru Cardana otrzymujemy [tex]\frac{1}{3}\cdot\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}-\frac{2}{3\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}}-\frac{1}{3}[/tex] lub inaczej po prostych przekształceniach (usuwamy niewymierność z mianownika) [tex]\frac{1}{3}(\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{17-3\sqrt{33}}-1)[/tex].

Wynik ten różni się trochę od podanego przeze mnie wcześniej, ale jedynie wizualnie. W rzeczywistości oba wyrażenia mają tę samą wartość, co można szybko sprawdzić komputerowo, np. w programie WolframAlpha, wybierając opcję 'the real-valued root'. Inną postać wyniku otrzymałem wcześniej dlatego, że w swoim rozwiązaniu zadania (innym od Dominiki, ale korzystającym z podobnych własności geometrycznych) doszedłem do innego równania sześciennego, które nie było równoważne równaniu Dominiki, ale miało ten sam pierwiastek rzeczywisty.

A teraz czekamy na propozycję kolejnego zadania.

Na przeciwrozwartokątnej trójkąta rozwartokątnego znajdź punkt, którego odległość od wierzchołka kąta rozwartego jest średnią geometryczną długości odcinków, na jakie ów punkt dzieli przeciwrozwartokątną.

Niech X to szukany punkt na odcinku BC. Prowadzimy cięciwę AX okręgu opisanego na trójkącie ABC  i jej drugi koniec nazwijmy Y. Z twierdzenia o cięciwach okręgu mamy |AX|·|AY| = |BX|·|CX|, a więc w świetle warunku o średniej geometrycznej, X musi dzielić AY na połowy. Ponieważ trójkąt AOY jest równoramienny, OX musi być jego wysokością, czyli kąt AXO jest prosty. To oznacza, że X leży na okręgu o średnicy AO. Taki okrąg ma dwa punkty wspólne z odcinkiem BC i to są właśnie możliwe położenia punktu X. Co ciekawe, dla trójkąta prostokątnego punkt X jest tylko jeden (jest nim spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego), a dla trójkąta ostrokątnego – nie ma żadnego.

W wierzchołkach sześcianu umieszczono siedem zer i jedynkę (w każdym po jednej cyfrze). W jednym ruchu wybieramy jedną z krawędzi i liczby znajdujące się na jej końcach zwiększamy o jeden. Po ilu co najmniej ruchach wszystkie liczby w wierzchołkach będą podzielne przez 3?

Liczby nigdy nie będą podzielne przez 3. Jeśli pokolorujemy "co drugi" wierzchołek sześcianu na czerwono, to operacja dodawania jedynek nie zmienia różnicy między sumą liczb w czerwonych wierzchołkach a sumą liczb w wierzchołkach niepokolorowanych. Ta różnica na początku nie jest podzielna przez 3, więc po żadnej liczbie ruchów też nie będzie. Inny możliwy niezmiennik to parzystość liczby wierzchołków o wartości niepodzielnej przez 3.

Na papierze w kratkę rozważamy prostokąt o długościach boków a i b kratek (a i b to dodatnie liczby naturalne), o wierzchołkach w węzłach sieci kratowej i bokach równoległych do boków kratek. Wyznacz liczbę kratek, których wnętrza przecina przekątna tego prostokąta.

Przyjmijmy, że a to długość pionowego, a b - poziomego boku prostokąta. Rysując przekątną,  a-1 razy przecinamy poziomą linię kartki i b-1 razy linię pionową. Każde przecięcie takiej linii oznacza wejście na obszar kolejnej kratki. Do tego dochodzi jeszcze kratka, od której zaczynamy rysowanie. Zatem liczba kratek, których wnętrza przecina przekątna, jest nie większa niż a–1+ b–1 + 1 = a+b–1. Jeśli liczby a i b są względnie pierwsze, to jest to wynik ostateczny. Jeśli jednak mają wspólny dzielnik d większy od 1, to gdy rysujemy przekątną, co ¹/_d jej długości przecinamy jednocześnie linię poziomą i pionową, bo przekątna przechodzi przez wierzchołek kratki. Taka sytuacja ma miejsce d–1 razy. Musimy zatem wynik pomniejszyć o te jednoczesne przecięcia, które poprzednio liczyliśmy dwukrotnie. Zatem ostateczny wynik wynosi a+b–1–(d–1) = a+b–NWD(a, b).

Dana jest parabola y = ax² + bx + c, gdzie a>0. Między jej ramionami umieszczamy okrąg, który następnie upuszczamy. Okrąg spada, dopóki nie zatrzyma go parabola (wszystko dzieje się w tej samej płaszczyźnie). Wyznacz równanie największego okręgu, który spadnie na dno paraboli, a nie zablokuje się wcześniej (tzn. podaj równanie okręgu, który już spadł).

Na początek rozważymy parabolę y = ax². Okrąg musi mieć równanie x² + (y–r)² = r², bo okrąg i parabola muszą być symetryczne względem tej samej prostej, a skoro okrąg dotknął wierzchołka najniższym punktem, to jego środek musi być odległy o r od wierzchołka paraboli, czyli punktu (0, 0). Warunek "okrąg ma się nie zablokować" oznacza, że układ powyższych równań nie może mieć innych rozwiązań. Wstawiamy więc za y z pierwszego równania do drugiego i mamy x² + (ax²–r)² = r², co po uproszczeniu daje a²x⁴ + (1–2ar)x² = 0, czyli x²(a²x²+1–2ar) = 0. Widać, że x=0 spełnia równanie, zatem drugi nawias nie może dawać już żadnego niezerowego rozwiązania, więc jeśli a>0, to 1-2ar>0, czyli ¹/_2a ≤ r. Dla tego przypadku okrąg x²+(y–¹/_2a)² = 1/4a² jest największy.

Ogólnie dla paraboli y = ax²+bx+c definiujemy jej postać kanoniczną y = a(x+p)+q, gdzie p = ^b/_2a i q = ^Δ/_4a. Postać kanoniczna informuje, że tę parabolę otrzymamy z przesunięcia paraboli y = ax² o wektor [-p, q]. Po takim samym przesunięciu okręgu x²+(y–¹/_2a)² = 1/4a² otrzymamy rozwiązanie zadania. Czyli szukane równanie okręgu to (x+p)² + (y–¹/_2a–q )² = 1/4a²,
gdzie p i q są zdefiniowane jak wyżej.

Rajdowcy. S. Loeb i R. Bouffier organizują pokazówkę. Będą się ścigać dopóki jednocześnie nie przekroczą linii start-meta. Pokazać, że pokazówka się skończy wtedy i tylko wtedy, gdy stosunek czasów pojedynczych okrążeń jest liczbą wymierną.

Niech t_L, t_B oznaczają czasy pojedynczych okrążeń odpowiednio Loeba i Bouffiera, a k = t_L/t_B. Wtedy t_L= k·t_B.

Jeśli k jest liczbą wymierną, czyli k = ^m/_n, gdzie m, n[tex]\in[/tex]N₊ i NWD(m, n) = 1, to mnożąc obie strony równania t_L= k·t_B przez n, otrzymujemy n·t_L= m·t_B, co oznacza, że czas n okrążeń Loeba jest wielokrotnością czasu jednego okrążenia Bouffiera. Zatem po tym czasie rajdowcy spotkają się na linii start-meta i pokazówka zostanie zakończona.
Jeśli natomiast liczba k jest niewymierna, to dla każdej liczby p[tex]\in[/tex]N₊ liczba pk również jest niewymierna, a więc pk[tex]\not\in[/tex]N. Mnożąc obie strony równania t_L = k·t_B przez p, otrzymujemy p·t_L = p·kt_B, co oznacza, że za każdym razem kiedy Loeb będzie przekraczał linię start-meta, Bouffier będzie w innym miejscu, więc pokazówka nigdy się nie skończy.

Udowodnij, że sin 10" jest liczbą algebraiczną.

Wiadomo, że ¹/₂ = sin 30° = sin (10800·10'' ) = sin (2⁴·3³·5²·10'' ). Korzystając ze wzoru na wielokrotności kąta (tzn. na podwojenie czterokrotnie, na potrojenie trzykrotnie i dwa razy na kąt pięciokrotny - te wzory można wyprowadzić ze wzoru de Moivre'a) oraz przyjmując sin²x = 1– cos²x, otrzymujemy wielokrotne złożenia wielomianów o współczynnikach wymiernych. To dowodzi algebraiczności liczby sin 10".

Wydaje mi się, że przy formatowaniu tekstu wkradł się błąd. W pierwotnej wersji był sin10°, a nie sin10". Wtedy z podaniem wielomianu nie byłoby kłopotu. Ale z powyższego rozwiązania widać, że zadanie w pierwszej wersji zostałoby bez problemu rozwiązane, dlatego jak najbardziej uznaję to rozwiązanie.

Szukane liczby to 3 i 12.

Sokrates zna iloczyn 12. Wie że taki iloczyn dają liczby 3 i 4 oraz 2 i 6. Zatem mając te dwie możliwości nie miał jednoznacznej odpowiedzi.
Platon gdyby miał 3+4=7 od razu by znał rozwiązanie. Miał zatem sumę 8 i wiedział, że suma 8 daje następujące iloczyny: 2+6=8 iloczyn 12, 3+5=8 iloczyn 15, 4+4=8 iloczyn 16. Odpowiedział, że Sokrates nie może znać rozwiązania, i że on sam też nie zna. Suma 3+5 odpada bo gdyby ją miał Platon, to znałby od razu rozwiązanie. Suma 4+4 też odpada gdyż daje wieloznaczny iloczyn.
Teraz Sokrates już znał sumę Platona i spostrzegł, że tę sumę dają liczby 2 i 6. Z kolei Platon gdy usłyszał, że Sokrates zna rozwiązanie, wiedział że są to liczby 2 i 6.