Zadania 111-120

Mamy wzór na sinus potrojonego kąta sin(3x) = sinx(3–4sin²x). A ponieważ sin30° = ¹/₂, dla x=10° teza jest oczywista. Wielomian, który dowodzi, że liczba sin10° jest algebraiczna, jest postaci W(y) = x(3–4x²)–¹/₂.

Obliczyć [tex]\sqrt[3]{ 6+ \sqrt[3]{ 6+ \sqrt[3]{ 6+ .... }}} [/tex].

Oznaczmy x =[tex]\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\ldots}}}[/tex]. Wtedy x³ =[tex]6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\ldots}}[/tex]= 6+x.
Mamy do rozwiązania równanie x³–x–6 = 0. Na mocy twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu sprawdzamy, że 2 spełnia to równanie. Przekształcamy więc kolejno:
x³–x–6 = 0
x³–2x²+2x²–4x+3x–6 = 0
x²(x–2)+2x(x–2)+3(x–2) = 0
(x–2)(x²+2x+3) = 0
(x–2)((x+1)²+2) = 0.
Czynnik (x+1)²+2 jest dodatni dla każdego rzeczywistego x, zatem 2 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania. Stąd mamy odpowiedź: [tex]\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\ldots}}}[/tex]=2.

Dane są ciągi a_n i b_n rozbieżne do nieskończoności. Wykaż, że jeśli [tex]\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)[/tex]= r, gdzie r jest pewną liczbą rzeczywistą, to [tex]\lim_{n\to\infty}\,\frac{a_n}{b_n}[/tex]= 1. Podaj przykład ciągów a_n i b_n, dla których implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Niech r_n = a_n–b_n. Z warunków zadania wiemy, że[tex]\lim_{n \to \infty} r_{n}[/tex]= r. Dzieląc stronami równość a_n = r_n+b_n przez a_n, otrzymamy[tex]1= \frac{ r_{n} }{a_{n} } + \frac{ b_{n} }{ a_{n} }[/tex]. Przechodząc teraz z obiema stronami do granicy przy n dążącym do nieskończoności, ponieważ a_n dąży do nieskończoności a jego odwrotność do zera, otrzymujemy, że[tex] \frac{ r_{n} }{a_{n} }[/tex]też dąży do zera, bo licznik dąży do stałej, zatem drugi składnik tj.[tex]\frac{ b_{n} }{a_{n} }[/tex]musi dążyć do jedynki. Implikacja odwrotna nie zachodzi, bo np. dla a_n = n²+n+1 i b_n = n²+1 iloraz dąży do jedynki, a różnica do nieskończoności.

Niech p będzie liczbą pierwszą. Czy równanie z niewiadomymi x, y, z i parametrem p

xyz= p(x+y+z)

ma pierwiastek będący trójką liczb pierwszych dla każdej wartości p?

Łatwo zauważyć, że równanie spełnia x=2, y=3, z=5, p=3. 

Byłoby za łatwo. Taką trójkę trzeba znaleźć dla dowolnej wartości p. 

Łatwo można wykazać, że dla p=2 równanie nie ma pierwiastka będącego trójką liczb pierwszych. Można przeformułować pytanie w tym zadaniu: czy rozważane równanie ma pierwiastek będący trójką liczb pierwszych dla każdej liczby pierwszej p różnej od 2. Wydaje się, że znacznie trudniej byłoby to wykazać.

Jeśli podasz dowód dla p=2, to w zupełności wystarczy.

Mamy równanie z parametrem p: (1) xyz = p(x+y+z). Załóżmy, że p=2. Wówczas po prawej stronie równości mamy liczbę parzystą. Zatem liczba po lewej stronie też musi być liczba parzysta, czyli x=2 lub y=2 lub z=2. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że x=2. Wówczas (2) 2yz = 2(2+x+y). Po przekształceniach równanie to przyjmuje postać (3) y(z–1) = 2+z. Zauważmy, że jeśli z jest liczbą pierwszą różną od 2, to po lewej stronie równości (3) otrzymamy liczbę parzystą, a po prawej - nieparzystą, co daje sprzeczność. Z kolei jeśli z=2, to z równości (3) mamy y=4. Zatem dla p=2 nie istnieje trójka liczb pierwszych spełniających równanie (1), ckd.

Czy istnieje trójka liczb pierwszych spełniająca poniższy układ równań?$$\left\{\begin{array}{rcl}xy&=&2(x+y+z)\\x^2+y^2&=&z^2\end{array}\right.$$

W pierwszym równaniu prawa strona jest liczbą parzystą, więc bez straty ogólności możemy założyć, że x=2 (to jedyna liczba pierwsza parzysta). Podstawiając tę wartość do pierwszego równania, otrzymujemy 2y = 2(2+y+z). Po uproszeniu mamy z = -2, a to nie jest liczba pierwsza, zatem podane równanie nie ma rozwiązań w trójkach liczb pierwszych.

W ilu podzbiorach zbioru {1, 2, 3, ..., 15, 16} suma elementu najmniejszego i największego jest równa 17?

Jeśli ustalimy najmniejszą liczbę w podzbiorze, to mamy jednoznacznie wyznaczoną liczbę największą, a pozostałe możemy dobierać dowolnie spośród liczb leżących pomiędzy tymi wartościami. Na przykład dla najmniejszej liczby równej 1, największą jest 16. Pomiędzy nimi są liczby ze zbioru {2, 3, 4, ... , 15}. Możemy wybrać dowolny podzbior tego zbioru, a jest ich 2¹⁴. Jeśli najmniejszą liczbą jest 2, największą jest 15 i dobieramy wszystkie możliwe podzbiory zbioru {3, 4, 5, .... , 14}, których jest 2¹². Podobnie postępujemy, aż dojdziemy do najmniejszej liczby 8 i największej 9, pomiędzy którymi juz nic nie ma. Zatem ostateczną odpowiedzią jest
2¹⁴ + 2¹² + 2¹⁰ +... + 2²+2⁰ = [tex]\frac{2^{14}-1}{3}[/tex]= 5461.

Rozumowanie w zasadzie jest słuszne, ale z wynikiem coś nie gra. Na oko widać, że już pierwszy składnik sumy jest większy od podanej na końcu liczby.

Zamiast 14 powinno być 28 w wykładniku, czyli powinno być [tex]\frac{2^{28}-1}{3}[/tex].

Rozumowanie jest poprawne, jednak na końcu źle obliczasz sumę ciągu geometrycznego. Spróbuj jeszcze raz, na spokojnie.

OK. Śpię. W wykładniku powinno być 16 zamiast 28. Czyli ostatecznie poprawny wynik to [tex]\frac{2^{16}-1}{3}[/tex]= 21845.

Tak, to jest poprawna odpowiedź.

Niech n jest dodatnią liczbą bezkwadratową (tzn. całkowitą niepodzielną przez żaden kwadrat różny od 1). Podaj zbiór reszt z dzielenia przez n liczby (n–1)!.

1. Jeśli n jest liczbą złożoną, to reszta z dzielenia przez n liczby (n–1)! wynosi 0, bo dodatnia liczba złożona i bezkwadratowa w rozkładzie na czynniki ma tylko liczby, które występują w iloczynie (n–1)! (z tego, że jest bezkwadratowa wynika, że żaden czynnik się nie powtarza). Stąd n dzieli (n–1)! (więc reszta wynosi 0).

2. Jeśli n jest liczbą pierwszą, to reszta z dzielenia przez n liczby (n–1)! wynosi n-1, co wynika z twierdzenia Wilsona: dla każdej liczby pierwszej n liczba (n−1)!+1 jest podzielna przez n.

Konkluzja: zbiór możliwych reszt to wszystkie liczby pierwsze pomniejszone o 1, tzn. {0, 1, 2, 4, 6, 10, 12...}.
Ponadto można udowodnić, że dla liczb podzielnych przez kwadrat, reszta też będzie 0, więc warunek bezkwadratowości nie zmienia rozwiązania zadania.

Mamy dane miasto w kształcie prostokąta. Ulice biegną w nim tylko z południa na północ (jest ich n) oraz z zachodu na wschód (jest ich m), zawsze przez całe miasto. Wyznaczyć funkcję f(x, y, n, m) liczącą liczbę możliwych najkrótszych dróg z A=(0, 0) – południowo zachodni róg miasta do B=(n, m) – północno-wschodni róg miasta przez C=(x, y) – dowolnie ustalone skrzyżowanie miasta. Oczywiście 0<x<n i 0<y<m.

Zauważmy, że najkrótsze drogi z punktu (0, 0) do skrzyżowania (x, y) składają się tylko z ruchów na północ oraz na wschód i jest [tex]{{x+y}\choose{x}}[/tex]. Uzasadnienie:
Nazwijmy 'krokiem' ruch wzdłuż wektora [0, 1] lub [1, 0]. Ponieważ każda najkrótsza droga z (0, 0) do (x, y) składa się z x+y kroków (wykonanych na północ lub na wschód), wystarczy wiedzieć, na ile sposobów wybieramy w niej kroki poziome.

Gdy doszliśmy do skrzyżowania (x, y), pozostała do pokonania droga do punktu (m, n). Postępując tak jak poprzednio, otrzymamy, że liczba dróg od (x, y) do celu wynosi [tex]{{ m-x+n-y}\choose{m-x}}[/tex].

Ponieważ w każdej z częsci trasy drogi wybieramy niezależnie, f(x, y, m, n) =[tex]{{x+y}\choose{x}} \cdot {{ m-x+n-y}\choose{m-x}}[/tex].

Tworzymy ciąg, zaczynając od dowolnej liczby, a każdy kolejny jego wyraz jest sumą cyfr wyrazu poprzedniego. Cyfrą numerologiczną danej liczby nazywamy granicę tak otrzymanego ciągu, którego pierwszym wyrazem jest ta liczba. Jaka jest cyfra numerologiczna liczby

[tex]2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9^10}}}}}}}[/tex]?

Zauważmy, że podana liczba jest potęgą dwójki o wykładniku nieparzystym (wykładnik jest potęgą trójki). Potęgi dwójki dają z dzielenia przez 3 resztę 2, gdy wykładnik jest nieparzysty, a resztę 1 - gdy jest parzysty. Nasza liczba daje więc z dzielenia przez 3 resztę 2. Taką samą resztę daje z dzielenia przez 3 suma cyfr naszej liczby (uogólnienie cechy podzielności przez 3). Tę cechę zachowają także kolejne wyrazy ciągu, czyli jego granicą musi być cyfra, która z dzielenia przez 3 daje resztę 2. Może to być 2, 5 albo 8. Pozostaje pytanie, która z nich.

Faktem jest, że suma cyfr liczby daje taką samą resztę z dzielenia przez 9, jak sama liczba. Zatem trzeba obliczyć resztę z dzielenia liczby [tex]2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9^{10}}}}}}}}[/tex] przez 9.

Oznaczmy [tex]{4^{5^{6^{7^{8^{9^{10}}}}}}}[/tex] przez 4k. Otrzymujemy

[tex]2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9^10}}}}}}} = 2^{3^{4k}} = 2^{3^{(2 \cdot 2k)} = 2^{9^{2k}} = 2^{(9 \cdot 9^{2k-1})} = (2^9)^{9^{2k-1}}= [/tex]

[tex]512^{9^{2k-1}} = (9 \cdot 57-1)^{9^{2k-1}} [/tex]≡[tex] (-1)^{9^{2k-1}}[/tex](mod 9) ≡ (-1) (mod 9) ≡ 8 (mod 9).

Szukana reszta z dzielenia, a także szukana liczba numerologiczna wynosi 8.

Czy 5¹⁰¹ + 3⁹⁹ jest kwadratem liczby naturalnej?

Wystarczy sprawdzić, jaka jest ostatnia cyfra tej liczby, czyli jej reszta z dzielenia przez 10.

5¹⁰¹ ≡ 5 (mod 10)
3⁹⁹ ≡ 3³ ≡ 7 (mod 10)
5+7 ≡ 2 (mod 10)

Żaden kwadrat liczby naturalnej nie kończy się cyfrą 2, co łatwo sprawdzić. Ta liczba nie jest kwadratem.

:)

[tex] x^{x^{x^{x^{...}}}} = 2 [/tex]
Oblicz x.

Oznaczmy przez y wyrażenie [tex] x^{x^{x^{x^{...}}}} [/tex]. Równanie przybiera wówczas postać x^y = y, a skoro wiemy, że y=2, to mamy x²=2, czyli rozwiązaniem jest √2.

Niech ktoś powie, czy mam udostępniać kolejne zadanie, czy nie.

Zauważ, że to są potęgi bez nawiasów. Nie zredukują się.

Dlaczego niby jest źle? To nie jest żadna redukcja, tylko podstawienie.

Nie jest jasne, czy można wykonać takie podstawienie. Nie zawsze można.

Wyrażenie y przedstawia liczbę (=2), więc podstawienie jest OK. Zresztą można na koniec wykonać sprawdzenie.

Wyrażenie y jest ciągiem. Jeśli ten ciąg nie jest zbieżny, równanie jest sprzeczne. Ty założyłaś zbieżność na podstawie treści zadania, ale to trzeba wykazać, a nie założyć. Zgadzam się że √2 jest jedyną liczbą podejrzaną o bycie pierwiastkiem. Trzeba jednak wykazać, że ta liczba spełnia równanie, czyli że ciąg [tex] \sqrt2^{\sqrt2^{sqrt2^{sqrt2^{...}}}} [/tex]jest zbieżny. Taka była, jak sądzę, intencja autora zadania.

Masz rację.