Zadania 111-120

Data ostatniej modyfikacji:
2016-09-5

Symbole matematyczne można wpisywać w notacji kalkulatorowej lub TEX-owej. Można korzystać ze ściągi zamieszczonej na górze strony na pasku poziomego MENU. Każdy wzór należy poprzedzić napisem tex i zakończyć napisem /tex umieszczonymi w nawiasach kwadratowych.

 

ZADANIE NR 111 (4 IX 2016)

Udowodnij, że sin 10° jest liczbą algebraiczną.

 

Rozwiązanie zadania 111

Mamy wzór na sinus potrojonego kąta sin(3x) = sinx(3–4sin2x). A ponieważ sin30° = 1/2, dla x=10° teza jest oczywista. Wielomian, który dowodzi, że liczba sin10° jest algebraiczna, jest postaci W(y) = x(3–4x2)–1/2.

ZADANIE NR 112 (8 IX 2016)

Obliczyć \sqrt[3]{ 6+ \sqrt[3]{ 6+ \sqrt[3]{ 6+ .... }}} .

Rozwiązanie zadania 112

Oznaczmy x =\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\ldots}}}. Wtedy x3 =6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\ldots}}= 6+x.
Mamy do rozwiązania równanie x3x–6 = 0. Na mocy twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu sprawdzamy, że 2 spełnia to równanie. Przekształcamy więc kolejno:
x3x–6 = 0
x3–2x2+2x2–4x+3x–6 = 0
x2(x–2)+2x(x–2)+3(x–2) = 0
(x–2)(x2+2x+3) = 0
(x–2)((x+1)2+2) = 0.
Czynnik (x+1)2+2 jest dodatni dla każdego rzeczywistego x, zatem 2 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania. Stąd mamy odpowiedź: \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\ldots}}}=2.

ZADANIE NR 113 (10 IX 2016)

Dane są ciągi an i bn rozbieżne do nieskończoności. Wykaż, że jeśli \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)= r, gdzie r jest pewną liczbą rzeczywistą, to \lim_{n\to\infty}\,\frac{a_n}{b_n}= 1. Podaj przykład ciągów an i bn, dla których implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Rozwiązanie zadania 113

Niech rn = anbn. Z warunków zadania wiemy, że\lim_{n \to \infty} r_{n}= r. Dzieląc stronami równość an = rn+bn przez an, otrzymamy1= \frac{ r_{n} }{a_{n} } + \frac{ b_{n} }{ a_{n} }. Przechodząc teraz z obiema stronami do granicy przy n dążącym do nieskończoności, ponieważ an dąży do nieskończoności a jego odwrotność do zera, otrzymujemy, że \frac{ r_{n} }{a_{n} }też dąży do zera, bo licznik dąży do stałej, zatem drugi składnik tj.\frac{ b_{n} }{a_{n} }musi dążyć do jedynki. Implikacja odwrotna nie zachodzi, bo np. dla an = n2+n+1 i bn = n2+1 iloraz dąży do jedynki, a różnica do nieskończoności.

ZADANIE NR 114 (9 IX 2016)

Niech p będzie liczbą pierwszą. Czy równanie z niewiadomymi x, y, z i parametrem p

xyz= p(x+y+z)

ma pierwiastek będący trójką liczb pierwszych dla każdej wartości p?

Rozwiązanie?

Łatwo zauważyć, że równanie spełnia x=2, y=3, z=5, p=3. 

Ups

Byłoby za łatwo. Taką trójkę trzeba znaleźć dla dowolnej wartości p

Szkic rozwiązania

Łatwo można wykazać, że dla p=2 równanie nie ma pierwiastka będącego trójką liczb pierwszych. Można przeformułować pytanie w tym zadaniu: czy rozważane równanie ma pierwiastek będący trójką liczb pierwszych dla każdej liczby pierwszej p różnej od 2. Wydaje się, że znacznie trudniej byłoby to wykazać.

Wystarczy stara wesja

Jeśli podasz dowód dla p=2, to w zupełności wystarczy.

Rozwiązanie zadania 114

Mamy równanie z parametrem p: (1) xyz = p(x+y+z). Załóżmy, że p=2. Wówczas po prawej stronie równości mamy liczbę parzystą. Zatem liczba po lewej stronie też musi być liczba parzysta, czyli x=2 lub y=2 lub z=2. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że x=2. Wówczas (2) 2yz = 2(2+x+y). Po przekształceniach równanie to przyjmuje postać (3) y(z–1) = 2+z. Zauważmy, że jeśli z jest liczbą pierwszą różną od 2, to po lewej stronie równości (3) otrzymamy liczbę parzystą, a po prawej - nieparzystą, co daje sprzeczność. Z kolei jeśli z=2, to z równości (3) mamy y=4. Zatem dla p=2 nie istnieje trójka liczb pierwszych spełniających równanie (1), ckd.

ZADANIE NR 115 (10 X 2016)

Czy istnieje trójka liczb pierwszych spełniająca poniższy układ równań?
 

Rozwiązanie zadania 115

W pierwszym równaniu prawa strona jest liczbą parzystą, więc bez straty ogólności możemy założyć, że x=2 (to jedyna liczba pierwsza parzysta). Podstawiając tę wartość do pierwszego równania, otrzymujemy 2y = 2(2+y+z). Po uproszeniu mamy z = -2, a to nie jest liczba pierwsza, zatem podane równanie nie ma rozwiązań w trójkach liczb pierwszych.

ZADANIE NR 116 (12 X 2016)

W ilu podzbiorach zbioru {1, 2, 3, ..., 15, 16} suma elementu najmniejszego i największego jest równa 17?

Próba rozwiązania zadania 116

Jeśli ustalimy najmniejszą liczbę w podzbiorze, to mamy jednoznacznie wyznaczoną liczbę największą, a pozostałe możemy dobierać dowolnie spośród liczb leżących pomiędzy tymi wartościami. Na przykład dla najmniejszej liczby równej 1, największą jest 16. Pomiędzy nimi są liczby ze zbioru {2, 3, 4, ... , 15}. Możemy wybrać dowolny podzbior tego zbioru, a jest ich 214. Jeśli najmniejszą liczbą jest 2, największą jest 15 i dobieramy wszystkie możliwe podzbiory zbioru {3, 4, 5, .... , 14}, których jest 212. Podobnie postępujemy, aż dojdziemy do najmniejszej liczby 8 i największej 9, pomiędzy którymi juz nic nie ma. Zatem ostateczną odpowiedzią jest
214 + 212 + 210 +... + 22+20 = \frac{2^{14}-1}{3}= 5461.

Coś nie tak z wynikiem

Rozumowanie w zasadzie jest słuszne, ale z wynikiem coś nie gra. Na oko widać, że już pierwszy składnik sumy jest większy od podanej na końcu liczby.

Poprawka

Zamiast 14 powinno być 28 w wykładniku, czyli powinno być \frac{2^{28}-1}{3}.

Zła odpowiedź

Rozumowanie jest poprawne, jednak na końcu źle obliczasz sumę ciągu geometrycznego. Spróbuj jeszcze raz, na spokojnie.

Rozwiązanie zadania 116

OK. Śpię. W wykładniku powinno być 16 zamiast 28. Czyli ostatecznie poprawny wynik to \frac{2^{16}-1}{3}= 21845.

Dokładnie

Tak, to jest poprawna odpowiedź.

ZADANIE NR 117 (30 X 2016)

Niech n jest dodatnią liczbą bezkwadratową (tzn. całkowitą niepodzielną przez żaden kwadrat różny od 1). Podaj zbiór reszt z dzielenia przez n liczby (n–1)!.

Rozwiązanie zadania nr 117

1. Jeśli n jest liczbą złożoną, to reszta z dzielenia przez n liczby (n–1)! wynosi 0, bo dodatnia liczba złożona i bezkwadratowa w rozkładzie na czynniki ma tylko liczby, które występują w iloczynie (n–1)! (z tego, że jest bezkwadratowa wynika, że żaden czynnik się nie powtarza). Stąd n dzieli (n–1)! (więc reszta wynosi 0).

2. Jeśli n jest liczbą pierwszą, to reszta z dzielenia przez n liczby (n–1)! wynosi n-1, co wynika z twierdzenia Wilsona: dla każdej liczby pierwszej n liczba (n−1)!+1 jest podzielna przez n.

Konkluzja: zbiór możliwych reszt to wszystkie liczby pierwsze pomniejszone o 1, tzn. {0, 1, 2, 4, 6, 10, 12...}.
Ponadto można udowodnić, że dla liczb podzielnych przez kwadrat, reszta też będzie 0, więc warunek bezkwadratowości nie zmienia rozwiązania zadania.

ZADANIE nr 118 (16 XI 2016)

Mamy dane miasto w kształcie prostokąta. Ulice biegną w nim tylko z południa na północ (jest ich n) oraz z zachodu na wschód (jest ich m), zawsze przez całe miasto. Wyznaczyć funkcję f(x, y, n, m) liczącą liczbę możliwych najkrótszych dróg z A=(0, 0) – południowo zachodni róg miasta do B=(n, m) – północno-wschodni róg miasta przez C=(x, y) – dowolnie ustalone skrzyżowanie miasta. Oczywiście 0<x<n i 0<y<m.

Rozwiązanie zad. 118

Zauważmy, że najkrótsze drogi z punktu (0, 0) do skrzyżowania (x, y) składają się tylko z ruchów na północ oraz na wschód i jest {{x+y}\choose{x}}. Uzasadnienie:
Nazwijmy 'krokiem' ruch wzdłuż wektora [0, 1] lub [1, 0]. Ponieważ każda najkrótsza droga z (0, 0) do (x, y) składa się z x+y kroków (wykonanych na północ lub na wschód), wystarczy wiedzieć, na ile sposobów wybieramy w niej kroki poziome.

Gdy doszliśmy do skrzyżowania (x, y), pozostała do pokonania droga do punktu (m, n). Postępując tak jak poprzednio, otrzymamy, że liczba dróg od (x, y) do celu wynosi {{ m-x+n-y}\choose{m-x}}.

Ponieważ w każdej z częsci trasy drogi wybieramy niezależnie, f(x, y, m, n) ={{x+y}\choose{x}} \cdot {{ m-x+n-y}\choose{m-x}}.

ZADANIE NR 119 (23 XI 2016)

Tworzymy ciąg, zaczynając od dowolnej liczby, a każdy kolejny jego wyraz jest sumą cyfr wyrazu poprzedniego. Cyfrą numerologiczną danej liczby nazywamy granicę tak otrzymanego ciągu, którego pierwszym wyrazem jest ta liczba. Jaka jest cyfra numerologiczna liczby

2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9^10}}}}}}}?

Początek rozwiązania zad. 119

Zauważmy, że podana liczba jest potęgą dwójki o wykładniku nieparzystym (wykładnik jest potęgą trójki). Potęgi dwójki dają z dzielenia przez 3 resztę 2, gdy wykładnik jest nieparzysty, a resztę 1 - gdy jest parzysty. Nasza liczba daje więc z dzielenia przez 3 resztę 2. Taką samą resztę daje z dzielenia przez 3 suma cyfr naszej liczby (uogólnienie cechy podzielności przez 3). Tę cechę zachowają także kolejne wyrazy ciągu, czyli jego granicą musi być cyfra, która z dzielenia przez 3 daje resztę 2. Może to być 2, 5 albo 8. Pozostaje pytanie, która z nich.

Rozwiązanie zadania 119

Faktem jest, że suma cyfr liczby daje taką samą resztę z dzielenia przez 9, jak sama liczba. Zatem trzeba obliczyć resztę z dzielenia liczby 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9^{10}}}}}}}} przez 9.

Oznaczmy {4^{5^{6^{7^{8^{9^{10}}}}}}} przez 4k. Otrzymujemy

2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^{9^10}}}}}}} = 2^{3^{4k}} = 2^{3^{(2 \cdot 2k)} = 2^{9^{2k}} = 2^{(9 \cdot 9^{2k-1})} = (2^9)^{9^{2k-1}}=

512^{9^{2k-1}} = (9 \cdot 57-1)^{9^{2k-1}}  (-1)^{9^{2k-1}}(mod 9) ≡ (-1) (mod 9) ≡ 8 (mod 9).

Szukana reszta z dzielenia, a także szukana liczba numerologiczna wynosi 8.

ZADANIE NR 120 (5 XII 2016)

Czy 5101 + 399 jest kwadratem liczby naturalnej?

Rozwiązanie zadania 120

Wystarczy sprawdzić, jaka jest ostatnia cyfra tej liczby, czyli jej reszta z dzielenia przez 10.

5101 ≡ 5 (mod 10)
399 ≡ 33 ≡ 7 (mod 10)
5+7 ≡ 2 (mod 10)

Żaden kwadrat liczby naturalnej nie kończy się cyfrą 2, co łatwo sprawdzić. Ta liczba nie jest kwadratem.

Zatem czas zacząć 121-130

:)

ZADANIE NR 121

 x^{x^{x^{x^{...}}}} = 2
Oblicz x.

Próba rozwiązania zadania 121

Oznaczmy przez y wyrażenie  x^{x^{x^{x^{...}}}} . Równanie przybiera wówczas postać xy = y, a skoro wiemy, że y=2, to mamy x²=2, czyli rozwiązaniem jest √2.

No to jest dobrze czy nie?

Niech ktoś powie, czy mam udostępniać kolejne zadanie, czy nie.

Niestety, jest źle

Zauważ, że to są potęgi bez nawiasów. Nie zredukują się.

Dlaczego?

Dlaczego niby jest źle? To nie jest żadna redukcja, tylko podstawienie.

Podstawienie

Nie jest jasne, czy można wykonać takie podstawienie. Nie zawsze można.

Zbieżność

Wyrażenie y przedstawia liczbę (=2), więc podstawienie jest OK. Zresztą można na koniec wykonać sprawdzenie.

A jeśli nie?

Wyrażenie y jest ciągiem. Jeśli ten ciąg nie jest zbieżny, równanie jest sprzeczne. Ty założyłaś zbieżność na podstawie treści zadania, ale to trzeba wykazać, a nie założyć. Zgadzam się że √2 jest jedyną liczbą podejrzaną o bycie pierwiastkiem. Trzeba jednak wykazać, że ta liczba spełnia równanie, czyli że ciąg  \sqrt2^{\sqrt2^{sqrt2^{sqrt2^{...}}}} jest zbieżny. Taka była, jak sądzę, intencja autora zadania.

OK

Masz rację.

Powrót na górę strony