Arkusz podstawowy wg Marka Kordosa

Autor: Marek Kordos
emerytowany profesor Uniwersytetu Warszawskiego, redaktor naczelny miesięcznika Delta

Proponuję zestaw sześciu zadań, które - moim zdaniem - mogłyby stanowić zestaw maturalny powszechnej matury z matematyki poziomu podstawowego. Sądzę, że zestaw jest kompletny w tym sensie, że ten, kto to go rozwiąże, nie przyniesie ujmy polskiej szkole - rzecz jasna nie jako matematyk, ale jako człowiek kulturalny. Przypuszczam, że nauczyć na tym poziomie można każdego, chyba że wejdzie się z nim w konflikt, nim zacznie się go uczyć. Oczekuję krytyki, ale bardziej zależy mi na konkurencyjnych zestawach zadań. Wierzę, że zbiorową mądrością zdołamy zrobić tę rzecz nie do zrobienia.

Zadanie 1. Na rysunku [tex] \angle APD = 2 \angle AQD = 60^\circ[/tex]. Obliczyć rozwartości kątów ABD, ACD, BAC, BDC.

Zadanie 2. Podać maksymalny zbiór określoności i, dla niego, zbiór wartości funkcji [tex] x+1{/}x [/tex]. Naszkicować jej wykres.

Zadanie 3. W zbiorze [tex] \{49a+35b:a,b\in \mbox{Z}\}\cap\left(\mbox{R}^+\setminus\{0\}\right) [/tex] wskazać liczbę najmniejszą i liczbę najbliższą liczbie 111.

Zadanie 4. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa czworokątnego prawidłowego jest równe 4, a objętość [tex] \sqrt{2}{/}3 [/tex]. Znaleźć długość krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa.

Zadanie 5. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że po losowym pomalowaniu trzech wierzchołków sześcianu na czarno, a pozostałych na biało, żadna ze ścian nie będzie miała wszystkich wierzchołków tego samego koloru?

Zadanie 6. Samolot przy bezwietrznej pogodzie leci z Dęblina do Modlina (d = 120 km) i z powrotem przez godzinę. Ile czasu będzie leciał na tej samej trasie, gdy z Dęblina do Modlina będzie przez cały czas wiał wiatr o prędkości w = 60 km/godz? Zakładamy, że prędkość samolotu względem powietrza jest stała.

Ile punktów przyznać konkretnemu zadaniu to sprawa dyskusyjna. Nie jest jednak (chyba?) dyskusyjny ich podział.

Zadanie 1
Z twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku mamy:
[tex] \normalsize \angle ABD = \angle ACD =: \alpha, \;\; \angle BAC = \angle BDC =: \beta [/tex].
Za odkrycie tego przyznajemy 1/3 punktów za zadanie.

Z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkątach ABP i AQC mamy:
[tex] \alpha + \beta = 60^\circ,\;\; \beta + 30^\circ = \alpha [/tex].
Za odkrycie tego kolejne 1/3 punktów za zadanie.

Stąd (np. dodając stronami) otrzymujemy [tex] \beta = 15^\circ [/tex] i [tex] \alpha = 45^\circ [/tex].
Za to kolejne 1/3 punktów. 

Zadanie 2
Dziedzina to [tex] R\setminus\{0\} [/tex].
Za to 1/3 punktów za zadanie.

Dalej 7 = 49 · (-2) + 35 · 3. Można to zgadnąć, sprawdzić przez przejrzenie małych a i b, wreszcie uzyskać z algorytmu Euklidesa:
49 = 35 + 14, 35 = 2 · 14 + 7, skąd 7 = 35 - 2 · 14 = 35 - 2 · (49 - 35).
Stąd pierwsza odpowiedź jest 7.
W każdym przypadku za to kolejne 1/3 punktów.

Pozostaje znalezienie najbliższych 111 wielokrotności 7.
111 : 7 = 15 r. 6, skąd mamy, że druga odpowiedź to 7 · 16 = 112.
Znów 1/3 punktów.

Za obliczenie konkretnych wartości dla a i b w tym przypadku - 0 punktów, bo nikt o to nie pyta.

Zadanie 4
Gdy oznaczymy bok przez [tex] a [/tex], a wysokość przez [tex] h [/tex], wysokość ściany bocznej będzie równa [tex]  \sqrt{h^2+(a/2)^2} [/tex], zatem do rozwiązania jest układ równań:

[tex]  a^2+4\cdot \frac{a}{2} \cdot \sqrt{h^2+(a/2)^2}= 4 [/tex], [tex]\ \ \frac{1}{3}a^2h= \frac{\sqrt{2}}{3} [/tex] .
Za to 1/3 punktów za zadanie.

Dalej [tex]  a^2 + a\sqrt{4h^2+a^2}= 4 [/tex] , [tex] a^2h=\sqrt{2} [/tex] , co po podstawieniu [tex] h =\sqrt{2}{/}a^2 [/tex] daje:

[tex] a^2+a\sqrt{8/a^4+a^2} = 4 [/tex], czyli [tex] \sqrt{8/a^4+a^2} = 4-a^2 [/tex].
Po podniesieniu do kwadratu mamy: [tex] 8{/}a^2 + a^4 = 16 - 8a^2 + a^4 [/tex] ,
co po pomnożeniu przez [tex]  a^2{/}8 [/tex]  daje: [tex]  a^4 - 2a^2 + 1 = 0 [/tex], a zatem [tex] (a^2 - 1)^2 = 0 [/tex], czyli [tex] a^2=1 [/tex].
Mamy więc [tex] a=1 [/tex] i [tex] h=\sqrt{2} [/tex].
Za te rachunki 2/3 punktów przyznanych dla tego zadania.

Zadanie 5
Ponieważ każdy wierzchołek należy do trzech ścian, więc średnia liczba białych wierzchołków na ścianie to [tex] \frac{3\cdot 5}{6} > 2 [/tex]. Zatem istnieje (co najmniej jedna) ściana, na której są (co najmniej) 3 wierzchołki białe. Zawsze możemy tak postawić sześcian, że będą to wierzchołki A, B, C ściany dolnej.
Za takie zredukowanie problemu 2/3 punktów za zadanie.

Pozostałe dwa białe wierzchołki mogą być wylosowane spośród pozostałych pięciu, a więc na [tex] {{5}\choose{2}} = 10 [/tex] sposobów. Nazwijmy brak ściany o czterech białych wierzchołkach sukcesem. Jeśli ma być sukces, nie może zostać wylosowany czwarty wierzchołek D ściany dolnej i pozostałe dwa białe wierzchołki muszą się znaleźć na górnej ścianie. Spośród możliwych sześciu par sukces zapewniają cztery: wszystkie trzy z D' oraz (A', C'). Zatem poszukiwane prawdopodobieństwo to 0,4.
Za to pozostałe 1/3 punktów.

Zadanie 6
Prędkość samolotu względem powietrza to 2d, zatem przy wietrze o prędkości
w będzie on leciał przez
d/(2d + w) + d/(2d - w) = d/(4d² - w²) · (2d - w + 2d + w) = 4d²/(4d² - w²) =
= 1 + w²/(4d² - w²).

Podczas gdy rozwiązanie bez użycia ogólnych symboli to:
do Modlina z prędkością 240 + 60 = 300 km/godz przez 2/5 godz, czyli 24 min,
z Modlina do Dęblina z prędkością 240 - 60 = 180 km/godz przez 2/3 godz, czyli 40 min. Łącznie daje to czas o 4 minuty gorszy, niż bez wiatru.
Za rozwiązanie tylko liczbowe 2/3 punktów za zadanie, za rozwiązanie symboliczne 1/3 punktów, za poprawny wynik w obu przypadkach dalsze 1/3 punktów.