MAT-ŚWIAT › Odlotowe figury

Bryły z kreskowaną okrągłą podstawą

Data ostatniej modyfikacji:
2015-03-11
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria przestrzenna
Do rysunków 3D w niebieskich ramkach
użyto apletu www.javaview.de/
Można w nich manipulować myszą.


 


 

Przed przeczytaniem tego artykułu zajrzyj do tekstu Wielościany z kreskowaną podstawą.

 

 

Wyobraź sobie, że walec W
jest zbudowany z prostokątów:
  -  kreskujemy podstawę,
  -  nad kreskami ustawiamy prostokąty jednakowej wysokości, prostopadle do podstawy.
(Kresek jest nieskończenie wiele;
na rysunku widać tylko kilka z nich.)
Można pokreskować podstawę.
bryła W          nad kreskami 
anty:

Ciekawsze bryły dostaniemy, gdy w miejsce prostokątów będziemy wstawiać inne figury płaskie o wymiarach zależnych od długości kresek. Zobacz.

 

Wyobraź sobie bryłę W :
Podstawą P bryły W jest koło k(O,R) pokreskowane równolegle do ustalonej średnicy AB.
(Kresek jest nieskończenie wiele;
na rysunku widać tylko kilka z nich.)
 
Każda kreska jest
wystawionego w półpłaszczyźnie prostopadłej do podstawy P.
 
Jak wygląda bryła W ?
Wyobraź sobie
i sprawdź (zaznacz kwadrat pod rysunkiem).
bryła W          nad kreskami 
anty:

 

Każda z powyższych brył mieści się w walcu o promieniu podstawy R i wysokości 2R, więc ma objętość nie większą niż 2R3.
Jakie mają objętości?
Pokażemy jak można je wyznaczyć na podstawie poniższego twierdzenia:

 

(*) Reguła Cavalieriego.  Niech dane będą dwie bryły W1 i W2 i ustalona płaszczyzna U.
Jeśli dla każdej płaszczyzny Z równoległej do U, przekroje: Z W1 i Z W2 mają jednakowe pola, to objętości brył W1, W2 są jednakowe.

 

Na poniższych dwóch rysunkach widać jak można zastosować powyższe twierdzenie.

Podpowiemy kilka szczegółów dla bryły W = W1 zbudowanej z trójkątów równobocznych ustawionych nad kreskami podstawy.
Na prawym rysunku bryła W2 powstała z prostopadłościanu R × 2R × R przez usunięcie dwóch ostrosłupów o podstawach prostokątnych R × R i wysokościach R.

Sprawdź, że zaznaczone niebieskie przekroje tych brył mają jednakowe pola.

Wskazówka.   Na rysunkach jest: KL || AB, OM = MN, KM = ML. Wyznacz pola w zależności od wartości x = OM = . R.

 

bryła W1         nad kreskami 
bryła W2         nad kreskami 
anty:
anty:

Dla innych brył W1, gdy każda kreska jest rozumowanie jest niemal identyczne, trzeba tylko zmienić wartość R. Jak?

Zadanie.   Wyznacz objętości oglądanych brył.

 

Uwaga.   W ostatnim przypadku, tzn. gdy W1 jest zbudowana z półkoli, uzyskujemy pewien sposób uzasadnienia wzoru na objętość kuli. Różni się on od pomysłu Archimedesa, ale w zasadzie idea jest taka sama.

 

 

Na 'deser' oglądnij kolekcję podobnie zbudowanych brył.
Ich objętości można wyznaczyć metodami matematyki wyższej
(trudno tu wprost użyć zasadę Cavalieriego).

 

Wyobraź sobie bryłę W :
 
Podstawą P bryły W jest koło k(O,R) pokreskowane przez cięciwy o końcu w ustalonym punkcie A brzegu koła.
(Kresek jest nieskończenie wiele;
na rysunku widać tylko kilka z nich.)
 
Każda kreska jest
wystawionego w półpłaszczyźnie prostopadłej do podstawy P.
 
Jak wygląda bryła W ?
Wyobraź sobie
i sprawdź (zaznacz kwadrat pod rysunkiem).
bryła W          nad kreskami 
anty:

 

 

 

Problem z wyprowadzeniem wzoru

Apolonia Bokszycka (niezweryfikowany), środa, 04/03/2015 - 20:47

Jestem zainteresowana wyprowadzeniem wzoru na objętość bryły, której podstawą jest koło pokreskowane przez cięciwy wychodzące z jednego punktu na okręgu. Według powyższego artykułu trudno tu wprost użyć zasady Cavalierego i sugerowane jest użycie wyższej matematyki - czy jest to jednak niemożliwe? Uprzejmie proszę o pomoc w postaci wyprowadzenia wzoru na objętość ww bryły lub wskazówki, jak wyprowadzić taki wzór.

Wyprowadzenie

redakcja (niezweryfikowany), niedziela, 08/03/2015 - 08:53

Oto krótkie (dla studenta po wykładzie analizy matematycznej) rozwiązanie dwóch podpunktów - najłatwiejszego i chyba najtrudniejszego.

Powrót na górę strony