Definicja trapezu

Data ostatniej modyfikacji:
2016-01-1
Autor: 
Małgorzata Mikołajczyk
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła podstawowa
gimnazjum
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna

Zwracam się z pytaniem dotyczącym prawidłowej definicji trapezu. W podręcznikach szkolnych trapez definiowany jest jako czworokąt, który posiada co najmniej jedną parę boków równoległych. Oznacza to, że każdy równoległobok (także kwadrat i romb) jest trapezem. Tymczasem słowniki i encyklopedie (w tym wydawnictwa PWN) definiują trapez jako czworokąt, który posiada dokładnie jedną parę boków równoległych (czyli jego ramiona muszą być nierównoległe). Dlaczego definicja podręcznikowa i słownikowa są sprzeczne?  Po co wprowadza się chaos do elementarnej szkolnej geometrii?

Wewnętrzne sprzeczności występują także w samych podręcznikach, które w zadaniach uznają, że trapez równoramienny ma oś symetrii lub że oba kąty przy jednej z podstaw trapezu są rozwarte, a przecież w równoległoboku tak nie musi być. Więc o co chodzi z tym trapezem?

Rozumiem, że przy ogromie przedmiotu, jakim jest MATEMATYKA, to pytanie wydaje się drobiazgiem, to jednak w nauce ścisłej nie powinno być takich niejasności i dowolności interpretacji.

R. S.

***

Sprawa nie jest błaha, bo różne definicje trapezu mogą prowadzić do niezawinionych błędów w rozwiązaniach zadań. Rozwiążmy bowiem takie zadanie: Podstawa trapezu o ramionach długości 15 i 20 i wysokości 12 ma długość 50. Jaką długość może mieć druga podstawa?

W zależności od przyjętej definicji, zadanie może mieć 2 lub 4 rozwiązania.

Oba ramiona mogą tworzyć z daną podstawą niezależnie od siebie kąt ostry lub rozwarty. Podane zależności są zatem spełnione w czterech sytuacjach:
I - oba kąty ostre - wówczas druga podstawa ma długość 50-(9+16)=25,
II - oba kąty rozwarte - wówczas druga podstawa ma długość 50+(9+16)=75,
III - kąt między daną podstawą a ramieniem 15 ostry, a między podstawą a drugim ramieniem rozwarty - wówczas druga podstawa ma długość 50-9+16=57,
IV - kąt między daną podstawą a ramieniem 15 rozwarty, a między podstawą a drugim ramieniem ostry - wówczas druga podstawa ma
długość 50+9-16=43.

No cóż, definicja jest rzeczą umowną. W matematyce najczęściej stosuje się określenie trapezu jako czworokąta o jednej parze boków równoległych. Definicja nic nie mówi o drugiej parze (więc ta może być równoległa lub nie). Przemawiają za tym różne względy natury praktycznej, np. to, żeby graniczny trapez równoramienny, o kątach ostrych przy jednej podstawie dążących do kąta prostego, też był trapezem (zbiór będzie wówczas domknięty, ciąg trapezów będzie zbiegał do trapezu, a nie do figury, która trapezem nie jest).

Słowniki, stosując odmienną definicję, chcą zapewne podkreślić, że chodzi o figurę nie będącą żadnym szczególnym przypadkiem (kwadratem, rombem, prostokątem ani równoległobokiem). W matematyce jednak zjawisko szczególnego przypadku figury o pewnych własnościach nie jest niczym niespotykanym. Nie ma powodu, aby kwadratu nie uznawać za szczególny rodzaj prostokąta, podobnie jak nie ma powodu, aby nie uznawać go za szczególny rodzaj trapezu. Podobnie jest z prostokątem, który jest szczególnym przypadkiem (granicznym!) równoległoboku jak i szczególnym przypadkiem trapezu. Także równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu. Nie ma w tym nic nielogicznego. Pozwala to nawet na wprowadzenie bardzo eleganckiej klasyfikacji czworokątów ze względu na liczbę i położenie przystających boków oraz przystających kątów.

Wydaje się, że ponad 90% podręczników do matematyki stosuje tę samą definicję trapezu, choć trzeba przyznać, że są od tej reguły wyjątki. Ale jeśli ktoś stosuje odmienną definicję, powinien wyraźnie podkreślić, że w innych źródłach stosuje się inną definicję. Tak jest podane np. w Wikipedii.

Na koniec proponujemy, aby zamiast drążyć problem definicji, rozwiązać serię fajnych zadań dotyczących charakterystycznych własności trapezów.

 

Powrót na górę strony