Na zakręcie

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Dział matematyki:

geometria syntetyczna

Poziom edukacyjny:

gimnazjum

szkoła średnia z maturą

szkoła profilowana zawodowa

Są różne zakręty: mniej lub bardziej ostre. Mogą mieć różne szerokości i kształty. Tu zajmiemy się najprostszymi, utworzonymi przez krzyżujące się dwie pary prostych równoległych, podobne do ostrego zakrętu rzeki lub raczej kanału. Przyjmiemy, że szerokość rzeki (tzn. odstęp między prostymi równoległymi) jest równa s = 20 m.

Pierwszy zakręt ma 90^o, drugi jest większy, ma 120^o, a trzeci - 60^o. Spławiając żerdzie (pnie drzew, zaznaczone na czerwono), musimy je obrócić o takie właśnie kąty ( ).

PROBLEM Zbadamy, jakie maksymalnie długie żerdzie można spławiać tymi kanałami.

Od razu widać, że żerdzie o długości s mieszczą się bez problemu w tych zakrętach.

Widać też, że żerdź o długości 2s można obracać wokół wewnętrznego cypla zakrętu (punkt C), więc można ją spławiać wg algorytmu:
- dopłynąć do zakrętu wzdłuż wewnętrznego brzegu,
- zahamować, gdy środek osiągnie cypel C,
- obrócić wokół C o kąt równy kątowi zakrętu,
- kontynuować spławianie wzdłuż wewnętrznego brzegu.

Zaznaczony przerywaną linią okrąg pokazuje, że dłuższych żerdzi nie można spławiać... tą metodą.

Ale może można spławiać DŁUŻSZE żerdzie jakąś INNĄ metodą?

Powyższe przykłady sugerują, że newralgiczny moment, to moment, w którym żerdź wykonała połowę obrotu. Wtedy (po ewentualnym dosunięciu jej do punktu C) zobaczymy, że nie może być dłuższa niż odcinek AB zaznaczony na rysunku obok.

Odcinek AB jest on prostopadły do OC, C jest jego środkiem.

Gdy rzeka zakręca pod kątem prostym, AB tworzy z brzegami kąty równe 45^o, skąd można łatwo obliczyć jego długość: AB = 2 ^. s.
Gdy rzeka zakręca pod kątem 120^o, AB tworzy z brzegami kąty równe 60^o, skąd można łatwo obliczyć długość: AB = 2 ^. 2s/3 .
Gdy rzeka zakręca pod kątem 60^o, AB tworzy z brzegami kąty równe 30^o, skąd można łatwo obliczyć długość: AB = 2 ^. 2s = 4s .
Ogólnie, gdy rzeka zakręca pod kątem , AB tworzy z brzegami kąty równe /2, skąd można wyznaczyć długość: AB = 2 ^. s / sin(/2) .

Ciekawsze od powyższych obliczeń jest rozstrzygnięcie, czy żerdź o długości AB można spławić przez zakręt? Czy w innym momencie (t.j. gdy kąt pomiędzy żerdzią a OC nie jest prosty) jest wystarczająco dużo miejsca na taką żerdź?
Poniższe twierdzenie daje na to pytanie odpowiedź twierdzącą.

TWIERDZENIE 1.
Niech punkt C leży na dwusiecznej pewnego kąta (wypukłego). Wśród odcinków łączących ramiona tego kąta przechodzących przez punkt C najkrótszym jest odcinek prostopadły do dwusiecznej tego kąta.