Odcinek paraboli (z cyklu 'Śladami Archimedesa')

Na rysunku widać odcinek paraboli, to znaczy obszar ograniczony parabolą i cięciwą paraboli (odcinkiem o końcach leżących na paraboli).

Podamy wzór na pole odcinka paraboli y = x²
o cięciwie o końcach A(a, a²), B(b, b²) w zależności od jego szerokości, to jest od wielkości h = |b-a|.

Pomysł polega na wypełnianiu obszaru odcinka paraboli nieskończoną kolekcją specjalnych trójkątów. Kolekcję tworzymy etapami:

Kolejne etapy: 1,   2,   3,   4,   . . .

Po każdym etapie niewypełniony obszar jest sumą odcinków paraboli o dwukrotnie mniejszych szerokościach. W następnym etapie wybieramy dwa razy więcej trójkątów niż w poprzednim.
Pole odcinka paraboli jest sumą pól tych wszystkich (nieskończenie wielu) specjalnych trójkątów.

Co to są za specjalne trójkąty wpisane w odcinki paraboli? Nazwijmy je A-trójkątami.
Jeden bok jest cięciwą paraboli i pierwsza współrzędna 'środkowego' wierzchołka leży dokładnie w środku pomiędzy pierwszymi współrzędnymi 'skrajnych' wierzchołków.

Wyznaczmy wzór na pole takich specjalnych A-trójkątów:
 
Trójkąt PQR podzielmy odcinkiem RS prostopadłym do osi OX na dwa trójkąty o wspólnej podstawie RS . Obliczmy:
  |RS| = (p²+q²)/2 - ((p+q)/2)² =
        = p²/2 + q²/2 - p²/4 - q²/4 - 2pq/4 =
        = p²/4 + q²/4 - 2pq/4 = 1/4 ^. (q-p)² .
Stąd
(*)    pole trójkąta PQR = 2 ^. 1/2 ^. |RS| ^. |q-p|/2 = |q-p|³/8,

czyli: pole A-trójkąta jest równe 1/8 sześcianu szerokości odcinka paraboli, w którą jest wpisany.

(**)    Suma pól A-trójkątów z danego etapu jest 1/4 sumy pól trójkątów z poprzedniego etapu.

Faktycznie; z (*) wynika, że A-trójkąt z danego etapu ma pole równe 1/2³ pola A-trójkąta z etapu poprzedniego.

Ćwiczenie 1.   Oblicz pole odcinka paraboli  y = x²  o cięciwie AB, gdzie:
  a)  A(0,0) i B(2,4)      b)  A(1,1) i B(3,9)      c)  A(,²) i B(4,16)      d)  A(,2) i B(,5)

Co wystarczy wiedzieć, by poniższe ćwiczenie było bardzo łatwe?

Ćwiczenie 2.   Oblicz pole odcinka paraboli  y = (x - 3)² - 2  o cięciwie AB, gdzie:
  a)  A(0,0) i B(2,4)      b)  A(1,1) i B(3,9)      c)  A(,²) i B(4,16)      d)  A(,2) i B(,5)

Co wystarczy zmienić w wyprowadzeniu ogólnego wzoru, by poniższe ćwiczenia były bardzo łatwe?

Ćwiczenie 3.   Oblicz pole odcinka paraboli  y = (3x-2)² - 1  o cięciwie AB, gdzie:
  a)  A(0,0) i B(2,4)      b)  A(1,1) i B(3,9)      c)  A(,²) i B(4,16)      d)  A(,2) i B(,5)

Ćwiczenie 4.   Oblicz pole odcinka paraboli  y = (2x-3)(3x-4)  o cięciwie AB, gdzie:
  a)  A(0,0) i B(2,4)      b)  A(1,1) i B(3,9)      c)  A(,²) i B(4,16)      d)  A(,2) i B(,5)

Problem 1.   Czy można nieznacznie zmodyfikować powyższe rozumowanie tak, by otrzymać wzór na pole odcinka paraboli, przy następującej modyfikacji pojęcia A-trójkąta:
Wierzchołki A'-trójkąta leżą na paraboli i pierwsza współrzędna 'środkowego' dzieli w skali 2:3 odcinek pomiędzy pierwszymi współrzędnymi 'skrajnych' wierzchołków.

Uwaga 1.   Już Archimedes potrafił obliczyć pole odcinka paraboli. Powyższe rozumowanie jest częściowo wzorowane na jego pomyśle. Archimedes nie rachował, jego rozumowanie było geometryczne. (Na przykład umiał pokazać, że A-trójkąt ma największe pole wśród trójkątów zawartych w odcinku paraboli.) Ponadto jego rozumowanie było o wiele bardziej precyzyjne.

Wykres funkcji y = x³, dla x 0, jest linią podobną do (połowy) paraboli.

Na rysunku obok widać obszar ograniczony linią y = x³ i cięciwą tej linii o końcach
A(a, a³), B(b, b³), 0<a<b.

Rozumowanie niewiele różni się od tego dla paraboli. Poza rachunkami zmienić trzeba dowód (**). Sprawdź.

Pomysł polega na wypełnianiu tego obszaru nieskończoną kolekcją specjalnych trójkątów. Kolekcja jest tworzona etapami:

Kolejne etapy: 1,   2,   3,   4,   . . .

Po każdym etapie niewypełniona część jest sumą mniejszych obszarów o dwukrotnie mniejszych szerokościach. W następnym etapie wybieramy dwa razy więcej trójkątów niż w poprzednim.
Pole obszaru jest sumą pól tych wszystkich (nieskończenie wielu) specjalnych trójkątów.

Co to są za specjalne trójkąty? Nazwijmy je A-trójkątami.
Wierzchołki A-trójkąta leżą na linii y = x³, x0, i pierwsza współrzędna 'środkowego' leży dokładnie w środku pomiędzy pierwszymi współrzędnymi 'skrajnych' wierzchołków.

Wyznaczmy wzór na pole takich specjalnych A-trójkątów:
 
Trójkąt PQR podzielmy odcinkiem RS prostopadłym do osi OX na dwa trójkąty o wspólnej podstawie RS . Sprawdź, że:
  |RS| = (p³+q³)/2 - ((p+q)/2)³ =
        = p³/2 + q³/2 - p³/8 - 3p²q/8 - 3pq²/8 - q³/8 =
        = 3/8 ^. (p³ + q³ - p²q - pq²) = 3/8 ^. (q-p)^{2 .} (p+q).
 
Stąd    pole trójkąta PQR = 2 ^. 1/2 ^. |RS| ^. |q-p|/2,  czyli
(*)    pole trójkąta PQR = 3/8 ^. |q-p|^{3 .} (p+q)/2,
czyli: 
pole A-trójkąta = iloczynowi 3/8 sześcianu odległości pierwszych współrzędnych jego 'skrajnych' wierzchołków i pierwszej współrzędnej 'środkowego' wierzchołka.

(**)    Suma pól A-trójkątów z danego etapu jest 1/4 sumy pól trójkątów z poprzedniego etapu.

Faktycznie:
Niech A-trójkąty T ', T '' z danego etapu 'leżą pod' A-trójkątem T z poprzedniego etapu, niech s', s'' i s oznaczają pierwsze współrzędne ich 'środkowych' wierzchołków oraz h - odległość pierwszych współrzędnych 'skrajnych' wierzchołków trójkąta T.
Stosując (*) mamy wtedy:
pole T ' + pole T '' = 3/8 (h/2)^{3 .} s' + 3/8 (h/2)^{3 .} s'' =
= 1/4 ^. 3/8 h^{3 .} (s'+s'')/2 = 1/4 ^. 3/8 h^{3 .} s = 1/4 ^. pole T.

 
Zatem pole badanego obszaru = 3/8 |b-a|³ (a+b)/2 ^. (1 + 1/4 + 1/4 ^. 1/4 + 1/4 ^. 1/4 ^. 1/4 +. . .) .
Aby dokończyć rachunek oznaczmy:   L = 1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + . . . .
Ponieważ  4 ^. L = 4 + 1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + . . . , więc  4 ^. L = 4 + L, skąd  L = 4/3.
Zatem poszukiwany wzór jest następujący:

pole badanego obszaru = 3/8 |b-a|³(a+b)/2 ^. 4/3  =  1/4 |b-a|³(a+b) .