Pierwiastek z dwóch w muzyce

Data ostatniej modyfikacji:
2015-08-24
Autor: 
Barbara Kozłowska
absolwentka matematyki na UJ
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum

Nierozerwalne związki muzyki z matematyką zauważono już w starożytności. Pitagoras uważał matematykę za "naukę o harmonii". Obecność matematyki w muzyce zadziwia i pasjonuje ludzi (w równej mierze matematyków jak i muzyków, a nawet kompletnych laików) do dziś. Muzyka z jednej strony wydaje się być dyscypliną całkowicie subiektywną i podlegającą emocjom, a z drugiej - rządzi się ścisłymi, matematycznymi regułami. Czy w ogóle można pogodzić te dwie skrajności? Owszem. Dobrze skomponowana muzyka brzmi idealnie właśnie dlatego, że opiera się na solidnych matematycznych podstawach. A gdzie w muzyce znalazł swoje miejsce pierwiastek kwadratowy z dwóch?

W systemie równomiernie temperowanym. Ten sposób strojenia instrumentów został wprowadzony w epoce baroku. Wcześniej strojono instrumenty wykorzystując interwał kwinty (odległość między dźwiękami c-g), który powodował błąd: dwunasta kwinta stanowiła dźwięk inny od wyjściowego – nieco wyższy. Ta różnica (równa około ćwierci tonu) została nazwana komatem pitagorejskim. Temperacja stroju muzycznego wprowadziła poprawki do wielkości interwałów. Każda z kwint została zmniejszona o 1/12 komatu pitagorejskiego, dzięki czemu dwunasta kwinta stanowiła dźwięk wyjściowy tylko wyżej brzmiący, bo w innej oktawie, ale ten sam w sensie harmonii. Dokładniej pisaliśmy o stroju klasycznym i temperowanym w tekście Harmonia liczb oraz w artykule Dlaczego nie da się nastroić pianina? - przeczytaj oba koniecznie.

Przed wprowadzeniem zmian najmniejszym rozróżnianym interwałem (odległością) między dwoma dźwiękami był ćwierćton. W systemie równomiernie temperowanym za najmniejszą jednostkę uznaje się półton. W związku z tym zatarły się wcześniejsze różnice w brzmieniu dźwięków, które dziś uznaje się za identyczne, np. cis (c z krzyżykiem, czyli c podwyższone o pół tonu) i des (d z bemolem, czyli d obniżone o pół tonu). Dawniej cis/des były podniesione/obniżone tylko o ćwierć tonu i brzmiały subtelnie inaczej. Dźwięki, które dziś brzmią identycznie, chociaż mają zachowane historycznie inne nazwy i inny zapis nutowy, nazywamy enharmonicznie równoważnymi. Współcześnie taka zmiana zapisu nuty bez zmiany wysokości dźwięku służy na przykład temu, by stosować modulacje, czyli przejścia do innych tonacji, co jest ważnym i powszechnie stosowanym zabiegiem muzycznym.

Skoro odległości między dźwiękami mierzy się dziś liczbą półtonów pomiędzy nimi, a w gamie mamy 7 podstawowych tonów (c-d-e-f-g-a-h), czyli 6 odstępów między nimi, to gama jest podzielona na 12 równych półtonów. Stosunek częstotliwości dźwięków różniących się o oktawę (np. dolnego i górnego c) wynosi 2, zatem dla sąsiednich półtonów wynosi on  \sqrt[12]{2} (dzielimy na części o jednakowych ilorazach, a nie o jednakowych różnicach). To jeszcze nie jest pierwiastek kwadratowy, ale jesteśmy już blisko.

W poniższej tabeli w pierwszym wierszu umieszczono nazwy dźwięków tzw. gamy chromatycznej podzielonej na półtony, a w drugim - stosunek częstotliwości danego dźwięku do częstotliwości dolnego c (który odpowiada za wysokość dźwięku, jaką słyszymy).

Na samym środku tabelki zauważamy kwadratowy pierwiastek z dwóch. Odpowiadający mu interwał wielkości 6 półtonów (np. c-fis) nazywany jest trytonem (nazwa ta pochodzi od łacińskiego tritonus oznaczającego 3 tony, czyli 6 półtonówwłaśnie). Zauważmy, że tryton dzieli obecnie oktawę na połowy, czyli przewrotem trytonu (odległość mierzona nie w dół lecz w górę gamy np. fis-c1) jest także tryton. Przed wprowadzeniem skali temperowanej istniały dwa warianty trytonu: kwarta zwiększona i kwinta zmniejszona (jedna była przewrotem drugiej).

Tryton jest tzw. interwałem dysonansowym, tzn. brzmiącym niezgodnie. Może to być dość dużym zaskoczeniem, jako że powstaje przecież przez złożenie trzech całych tonów, więc powinien być idealną muzyczną reprezentacją np. Trójcy Świętej. Jednak brzmi fatalnie i rani uszy, więc na taki symbol się nie nadaje, a skoro coś tak doskonałego brzmi tak paskudnie, jest to widomy dowód na to, że majstrował przy tym Zły. Zapewne dlatego w średniowiecznej muzyce kościelnej używanie trytonu było zakazane, gdyż uważano, że został stworzony przez diabła, nazywano go nawet po łacinie diabolus in musica (diabłem w muzyce). A był wówczas znacznie bardziej dysonansowy, gdy nie znano jeszcze stroju temperowanego. Stosowny edykt podpisał w roku 1234 papież Grzegorza IX, i co ciekawe - zakazu tego nigdy nie cofnięto. W muzyce świeckiej taki zakaz nie obowiązywał i można było spotkać interwały c-fis lub dis-e. Mistrzem ich użycia był Guillaume de Machaut (1300-1377).

Chociaż brzmienie trytonu wydaje się trudne do zniesienia, może nadać utworowi odpowiedniego klimatu. Niektórzy kompozytorzy celowo wykorzystywali ten interwał właśnie ze względu na jego diaboliczne skojarzenia, np. Giuseppe Tartini (1692-1770) w "Sonacie z diabelskim trylem", Karol Weber (1786-1826) w "Wolnym strzelcu" w scenie odlewania diabelskich kul do strzelby, Franciszek Liszt (1811-1886) w "Sonacie dantejskiej" lub Claude Debussy (1862-1918) w "Popołudniu fauna". Z kolei ze względu na dysonansowe brzmienie, tryton jest często stosowany tam, gdzie konieczne jest uzyskanie mrocznego i tajemniczego klimatu, szczególnie dla podkreślenia napięcia w muzyce do filmów grozy, ale także w muzyce bluesowej, jazzowej, rocku, rocku progresywnym czy muzyce heavymetalowej (zwłaszcza satanistycznej rzecz jasna). Występuje na przykład w utworach zespołów Black Sabbath (np. utwór „Black Sabbath”) i Metallica (np. utwór „Enter Sandman”). Tryton jest także charakterystyczny dla muzyki polskich górali (np. "W murowanej piwnicy" - chociaż utwór ten jest często grany błędnie, za to czysto).

Dziś tryton na stałe zadomowił się w muzyce klasycznej i popularnej. Istnieje płyta zespołu Slayer zatytułowana "Diabolus in musica", chociaż kompozytor Jeff Hanneman nie posługuje się na niej trytonem. Istnieje też klasyczna płyta włoskiego skrzypka Salvadore Accardo z muzyką Niccolò Paganiniego także zatytułowana "Diabolus in musica". Istnieją (lub istniały) trzy zespoły pod nazwą Diabolus in musica: francuski - wykonujący muzykę średniowiecza, brytykski - wykonujący muzykę elżbietańskiej Anglii na historycznych instrumentach historycznych oraz hiszpański - grający symfoniczny power metal. 

 

Powrót na górę strony