Dlaczego nie da się nastroić pianina?

Data ostatniej modyfikacji:
2009-09-27
Autor: 
Jakub Pochrybniak
pracownik Instytutu Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego, utalentowany pianista
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
funkcje
Dział matematyki: 
fizyka
Co to jest dźwięk?

Dźwięk to drgania mechaniczne przekazywane naszym uszom za pośrednictwem powietrza. Powietrze w danym punkcie co chwila rozrzedza się i spręża i te właśnie zmiany ciśnienia rejestrowane są przez nasze ucho. Jednak jesteśmy w stanie usłyszeć tylko szybkie zmiany ciśnienia, nawet drobne, ale szybkie. Statystyczny człowiek słyszy fale o częstotliwości 16 Hz - 20 kHz.

Falę dźwiękową (w danym punkcie) możemy przedstawić w postaci wykresu ciśnienia w zależności od czasu, gdzie poziom 'zero' odzwierciedla średnie ciśnienie. Na tym właśnie polega zapis dźwięku na nośnikach. Np. na płycie kompaktowej zapisuje się poziom ciśnienia w 44 000 punktach na sekundę.

Brzmienie dźwięku

Tym, co odróżnia dźwięk muzyczny od innych rodzajów dźwięku (szumów, trzasków, ludzkiej mowy itp.), jest przede wszystkim fakt posiadania charakterystycznej cechy: wysokości. Dźwięk muzyczny powstaje na skutek drgań źródła dźwięku. Nawet jeśli zmienia się amplituda tych drgań, ich częstotliwość dla danego dźwięku jest stała. Ona właśnie określa wysokość dźwięku - im wyższa częstotliwość, tym wyższy dźwięk. Wiemy jednak, że tę samą prostą melodię jesteśmy w stanie zagrać np. zarówno na trąbce, jak i na fortepianie. Co sprawia, że dwa instrumenty wydające dźwięk o tej samej wysokości brzmią zupełnie inaczej? Dlaczego bez problemu jesteśmy w stanie odróżnić fortepian od trąbki?

Kolejną cechą dźwięku muzycznego jest obwiednia. Opisuje ona, jak zmienia się natężenie dźwięku w czasie. Przebieg natężenia dzieli się zazwyczaj na trzy fazy: narastanie, trwanie i wybrzmiewanie. Obok widać wykres natężenia w zależności od czasu (czyli obwiednię) dla fortepianu (linia kolorowa) i skrzypiec (linia czarna).

Dźwięk fortepianu narasta bardzo szybko, maksymalne natężenie trwa dosłownie chwilę (tyle, co uderzenie młoteczka w strunę), najwięcej czasu zajmuje 'opadanie' dźwięku. Z kolei w skrzypcach (przy standardowym wydawanym dźwięku) fazy narastania i wybrzmiewania są zaniedbywalnie krótkie, natomiast między nimi jest - tak długa, jak długo smyczek porusza strunę - faza trwania o mniej więcej jednostajnym natężeniu. Zauważmy jednak, że obwiednia, o ile wystarcza do odróżnienia fortepianu od skrzypiec, dla skrzypiec i trąbki będzie już taka sama, a przecież jakieś różnice między wydobywanymi z tych instrumentów dźwiękami muszą istnieć, skoro je słyszymy. Tu właśnie pojawia się trzecia cecha dźwięku muzycznego: barwa. Nią właśnie teraz się zajmiemy.

Jak drga struna fortepianu?

Wiemy, że struny mogą wydawać dźwięki różnej wysokości. Jeśli zwiększymy naprężenie struny lub zmniejszymy jej długość bądź masę, uzyskamy wyższy dźwięk. Konkretnie: częstotliwość wydobywanego dźwięku jest odwrotnie proporcjonalna do długości i masy struny, zaś wprost proporcjonalna do pierwiastka z jej naprężenia. Kiedy młoteczek uderza strunę, pobudza dwie fale poprzeczne, rozchodzące się w dwie strony. Czoło każdej z nich najpierw przesuwa się w kierunku mocowania struny, potem odbija od niego, następnie sunie w drugim kierunku, odbija się od drugiego mocowania i dopiero wtedy wraca do 'punktu wyjścia'. W efekcie powstaje fala stojąca długości dwukrotnie większej niż długość struny.

Kiedy spojrzymy na drgającą szybko strunę fortepianu czy gitary, zobaczymy rozmyty zarys przypominający kształtem brzegu 'połówkę' okresu wykresu sinusa.

Okazuje się jednak, że nie jest to prosty sinus. Kiedy pobudzimy strunę, na takie drgania nałożą się jeszcze takie, jak na kolejnych rysunkach.

a)

b)

c)

d)

Drgania te możemy zasymulować np. na gitarze, przykładając delikatnie w odpowiednich miejscach struny palec, tworząc w ten sposób węzeł. Dźwięk, który w ten sposób powstaje, nosi nazwę flażoletu i, z dokładnością do obwiedni, jest bardzo zbliżony do fali sinusoidalnej. Kiedy węzeł stworzymy w środku struny, jak na rys. a, zabrzmi ona dwa razy wyżej niż normalnie. Jeśli palec przyłożymy w 1/3 długości struny, jak na rys. b, węzeł powstanie automatycznie również w 2/3 długości i struna zabrzmi trzy razy wyżej niż normalnie itd. W ten sposób powstawać będą coraz wyższe dźwięki. Na gitarze efektywnie jesteśmy w stanie zagrać jeszcze dwa, trzy flażolety, co w żaden sposób nie znaczy, że tylko tyle składowych wydobywa się podczas normalnego szarpania struny.

Kiedy szarpniemy strunę gitary, do naszego ucha dotrze jednocześnie wiele fal o różnych częstotliwościach. Najniższa z nich zwana jest tonem podstawowym, wyższe - o częstotliwościach będących jej wielokrotnościami - alikwotami (wszystkie zaś określane są mianem składowych harmonicznych). Dla danego dźwięku słyszymy od kilku do dwudziestu kilku alikwotów, w zależności od wysokości i mocy dźwięku (dla niższych i głośniejszych więcej). Nie wszystkie składowe harmoniczne brzmią ładnie. Już siódma wyraźnie nie stroi.

Mimo że w ten sposób dochodzi do nas wiele fal, usłyszymy to jako jeden dźwięk. Słyszana przez nas wysokość będzie równa wysokości tonu podstawowego, który zdecydowanie dominuje. To, że wiele różnych dźwięków zlewa nam się w jeden nie powinno dziwić. W organach jeden dźwięk zazwyczaj jest uzyskiwany przez połączenie wielu głosów, czyli grany jest przez kilka/kilkanaście piszczałek równocześnie (często o wysokościach różniących się o kwintę lub wielokrotności oktawy).

Wzmocnienie

Struna pobudza do drgania powietrze, w którym jest zawieszona. Ponieważ ma małą powierzchnię, nie jest w stanie poruszyć zbyt wielkich mas powietrza. Dźwięk instrumentu złożonego tylko ze struny zamocowanej na końcach byłby bardzo cichy, ledwo słyszalny. Dlatego w instrumentach strunowych stosuje się tzw. płyty lub pudła rezonansowe, aby zwiększyć natężenie dźwięku. Przejmują one drgania od struny i przekazują je powietrzu. Zbudowane są tak, aby niektóre częstotliwości były wzmacniane bardziej, inne mniej. Dlatego barwa instrumentu w bardzo dużym stopniu zależy od płyty rezonansowej.

W gitarze czy skrzypcach drga cała obudowa, w fortepianie płyta rezonansowa jest oddzielną, niezależną od obudowy częścią (montowana jest pod ramą, na której są rozciągnięte struny). Struny przekazują płycie swoje drgania przez specjalny mostek, na którym są rozpięte.

Inne instrumenty

Przykład fortepianu czy gitary dobrze ilustruje ogólną prawdę: dźwięk instrumentu muzycznego składa się z wielu dźwięków o określonych częstotliwościach, występujących w różnych proporcjach. To owe proporcje decydują o barwie instrumentu. One sprawiają, że bez trudu odróżniamy flet od fagotu.

Zazwyczaj jest tak, że ton podstawowy jest najsilniejszy, a kolejne alikwoty coraz słabsze. Różnice występują np. w dzwonach, w których bardzo silnie potrafi się wybijać trzecia czy piąta składowa. W niektórych typach piszczałek organowych (zakrytych) niezerowe są wyłącznie nieparzyste składowe.

Twierdzenie Fouriera

Okazuje się, że każdy dźwięk muzyczny można rozłożyć na proste składowe. Dowodzi tego twierdzenie matematyczne:
Jeżeli funkcja f jest ciągła i okresowa, to dla dowolnego ε > 0 istnieje wielomian trygonometryczny P taki, że dla dowolnego xR zachodzi |P(x) - f(x)| < ε,
to znaczy, że wielomian ten bardzo dobrze przybliża funkcję f.

Dźwięk muzyczny jest falą mniej więcej okresową i też poddaje się temu prawu. Oczywiście trudno mówić o okresie w momencie, w którym dźwięk opada (jak w przypadku fortepianu)niemniej jednak zawsze możemy przemnożyć naszą falę przez odwrotność natężenia i wtedy otrzymamy dźwięk o stałej obwiedni, który będzie już falą okresową. Za okres przyjmijmy długość fali odpowiadającą słyszanemu przez nas tonowi podstawowemu. Z twierdzenia Fouriera wiemy, że jesteśmy w stanie rozłożyć to, co słyszymy, na sumy sinusów i cosinusów o długościach będących wielokrotnościami przyjętej przez nas długości podstawowej. Chcemy jednak dostać po jednej fali na częstotliwość, nie po dwie. Zauważmy jednak, że fala wyrażona wzorem a·sinx + cosx jest nadal falą sinusoidalną. Mianowicie, ze wzorów trygonometrycznych mamy: c·sin(x+d) = cossinx + sincosx.
Wystarczy zatem dobrać takie c i d, aby cosd = a oraz sind = b. Czyli rzeczywiście możemy rozłożyć falę dźwiękową na szereg fal sinusoidalnych o częstotliwościach będących wielokrotnością podstawowej, niekiedy przesuniętych w fazie, czego jednak nasze ucho nie słyszy.

A dlaczego właściwie upieramy się przy tym, by rozbijać dźwięk akurat na fale sinusoidalne, a nie np. trójkątne czy o kształcie krzywej Gaussa? Okazuje się, że tylko fala sinusoidalna jest przez nas odbierana jako dźwięk nierozbijalny, atomowy.

Strojenie

Wypada wspomnieć, co to właściwie jest ten cały "fortepian". W dużym skrócie jest to położone poziomo pudło z kształtu przypominające harfę, w którym są:

  • żeliwna rama,
  • struny rozpięte na ramie, z jednej strony zaczepione, z drugiej nawinięte na kołeczki, którymi kręcąc zmienia się naciąg struny, a co za tym idzie - wysokość wydobywanego dźwięku,
  • płyta rezonansowa, która wzmacnia dźwięk,
  • młoteczki, które uderzając w struny, generują dźwięk,
  • klawisze, które wprawiają w ruch młoteczki,
  • pedały, tłumiki i inne rzeczy, którymi nie będziemy się zajmować.

Klawiatura fortepianu wygląda tak:

Klawisze podzielone są na grupy po 12, w tym 7 białych i 5 czarnych. Te grupy zwane są oktawami. Oktawy mają swoje nazwy. Najniższa (jest to właściwie tylko część oktawy ? trzy najniższe dźwięki fortepianu) nosi nazwę subkontra i jej dźwięki są oznaczane przez podwójne podkreślenie. Wyższa oktawa nosi nazwę kontra (dźwięki są podkreślane raz), następnie są: oktawa wielka (dźwięki pisane wielkimi literami), mała (dźwięki pisane małymi literami), razkreślna (dźwięki pisane z indeksem 1, np. a1) i tak aż do pięciokreślnej, którą na tradycyjnej klawiaturze reprezentuje tylko jeden dźwięk (c5).

A skąd się bierze 'harfowaty' kształt pudła fortepianu? Pamiętamy, że im dłuższa jest struna, tym niższy dźwięk generuje. Dźwiękowi c5 odpowiada struna długości 5 cm. Gdyby średnica i naciąg były identyczne dla wszystkich strun, dźwiękom c4, c3, c2 itd. odpowiadałyby struny długości 10, 20, 40 aż do 640 cm dla C, a dla niższych dźwięków jeszcze więcej. Instrument prawie siedmiometrowej długości byłby jednak zupełnie niepraktyczny. Na szczęście w fortepianie wraz ze zmniejszaniem tonu rośnie średnica strun. Ich naciąg też co prawda delikatnie rośnie, ale jest z nawiązką rekompensowany przez wzrost masy. Struny odpowiadające niższym dźwiękom owija się drutem miedzianym.

Dodajmy, że struny fortepianu są napięte bardzo mocno. Na każdą przypada od 70 do 150 kg naciągu (cała rama fortepianu musi wytrzymać nawet ponad 17-25 ton). Jednak do pewnego stopnia prawdą jest, że tym lepsze basy, im dłuższe struny. Przewaga brzmienia fortepianu koncertowego nad pianinem bierze się w dużej mierze stąd, że w fortepianie struny basowe są długie i stosunkowo cienkie.

Klawiszy w fortepianie jest zazwyczaj 88: od najniższego A (z podwójnym podkreśleniem) do c5. Spodziewać by się można, że strun będzie tyle samo, ale tak nie jest. Strun jest prawie trzy razy więcej, bowiem większości klawiszy odpowiadają po trzy struny, części po dwie, zaś tylko niewielkiej liczbie po jednej. Zwielokrotnione są struny wiolinowe (te od wysokich dźwięków), gdyż basowe brzmią od nich mocniej i grający miałby instrument o niezrównoważonym natężeniu dźwięku.

Stroiciel ma przed sobą dwa zadania: po pierwsze: dostroić różne dźwięki między sobą, aby ich wzajemne relacje były w jakiś sposób 'dobre'; po drugie: dostroić struny w obrębie jednego klawisza.

Dudnienie

Przyjrzyjmy się na razie tej drugiej czynności: załóżmy, że mamy zestroić ze sobą dwie struny w obrębie jednego dźwięku. Konkretnie mamy jedną 'wzorcową' strunę, drugą zaś mamy dostroić do niej. Wydajemy z obu dźwięk o mniej więcej tym samym natężeniu. Co się dzieje?

Dla uproszczenia zajmijmy się tylko tonem podstawowym, czyli falą sinusoidalną. Załóżmy, że jedna struna drga z częstotliwością a, druga - z b (różną od a) oraz że te częstotliwości są bliskie. Jaki jest efekt?
Ze szkolnych wzorów mamy: sinax + sinbx = 2sinx·cosx.
Gdybyśmy mieli tylko człon sinx, byłaby to zwykła fala sinusoidalna (na rysunku zaznaczona linią ciagłą). Musimy to jednak przemnożyć jeszcze przez 2cosx (na rysunku linia przerywana).

W efekcie dostajemy coś takiego:

Odbieramy to tak, jakbyśmy słyszeli dźwięk o częstotliwości , ale 'pulsujący' z częstotliwością a-b (dwa razy większą niż częstotliwość cosinusa we wzorze). Zauważmy, że im bliższe są częstotliwości a i b, tym wolniejsze jest to 'pulsowanie', a kiedy częstotliwości się zrównają, ustaje ono zupełnie. Patrząc na to bardziej fizycznie, a mniej 'wzorkowo-trygonometrycznie': dwie fale o różnych częstotliwościach w pewnych momentach się wzmacniają, a w innych (gdy są w przeciwnych fazach) - wygaszają. W praktyce rzadko się udaje wydobyć dwa dźwięki o prawie idealnie równej głośności. Nietrudno sobie jednak wyobrazić, co się będzie działo, gdy jeden z dźwięków będzie istotnie mocniejszy. Jeśli mamy fale o różnych amplitudach, np. a1 i a2, to amplituda ich sumy będzie się wahała między wartościami |a1-a2| i a1+a2, zaś częstotliwość sumy też będzie częstotliwością pośrednią (choć już odrobinę zmienną w czasie).

Wiemy zatem, jak dostrajać struny w obrębie jednego klawisza. Niestety, nawet doskonałe nastrojenie każdego klawisza z osobna nie wystarczy do tego, by fortepian był nastrojony. Trzeba jeszcze różne klawisze nastroić względem siebie nawzajem. Fortepian stroi się wychodząc od jednego, wzorcowego dźwięku (zazwyczaj a1, czyli zgodnie z normami obowiązującymi od kilkuset lat, 440 Hz, chociaż czasem stosuje się inne stroje, zwłaszcza gdy fortepian dostraja się do orkiestry, która ma zwyczaj grać przy stroju 443 Hz). Do niego dostraja się następny, do niego kolejny itd. Ponieważ za prawie każdy dźwięk odpowiadają trzy struny, dwie z nich w czasie strojenia się tłumi.

Uderzamy zatem w dwa klawisze. Jak stwierdzić, czy są one dobrze nastrojone względem siebie nawzajem? Tutaj przyda nam się wiedza na temat barwy: grając na fortepianie pojedynczy dźwięk, wywołujemy nie tylko ton podstawowy, ale również alikwoty. Strojenie polega na wychwyceniu dudnienia odpowiedniej składowej harmonicznej niższego dźwięku z odpowiednią składową dźwięku wyższego, następnie na takim operowaniu kluczem do strojenia, aby zmniejszyć częstotliwość tego dudnienia, choć jak się potem okaże, niekoniecznie do zera.

Interwały

Interwał to odległość między dwoma dźwiękami, czyli różnica ich wysokości (czy innymi słowy: iloraz częstotliwości). Poszczególne interwały maja swoje nazwy. Oto 12 najmniejszych (dla uproszczenia zakładamy, że wszystkie jako niższy dźwięk mają c, choć oczywiście wszystkie te interwały mogą się "zaczynać" od dowolnych dźwięków).

 

dźwięki nazwa interwału
c - cis sekunda mała
c - d sekunda wielka
c - dis tercja mała
c - e tercja wielka
c - f kwarta
c - fis tryton
c - g kwinta
c - gis seksta mała
c - a seksta wielka
c - b septyma mała
c - h septyma wielka
c - c1 oktawa

 

W artykule Harmonia liczb pisaliśmy, że pitagorejczycy zauważyli, że miłe dla ucha są interwały pomiędzy dźwiękami, których ilorazy częstotliwości wyrażają się jako stosunki małych liczb naturalnych, np.:

2 : 1 = oktawa
3 : 2 = kwinta
4 : 3 = kwarta
5 : 3 = seksta wielka
5 : 4 = tercja wielka
6 : 5 = tercja mała.

Interwały o liczniku równym 7 brzmią już fałszywie.

Najłatwiej stroiłoby się pianino za pomocą oktawy. Wystarczyłoby porównywać drugą składową harmoniczną niższego dźwięku z tonem podstawowym wyższego. Niestety, wychodząc od jednego dźwięku, bylibyśmy w stanie nastroić w ten sposób sześć, góra siedem innych. Przyjrzyjmy się zatem kwincie. Uderzając dwa klawisze, porównujemy trzecią składową niższego dźwięku (oktawa i kwinta) z drugą składową wyższego (oktawa). Są to alikwoty o 'niskich numerach', więc są dosyć dobrze słyszalne. Gdybyśmy, zaczynając od jednego dźwięku, szli cały czas w górę, klawiatura szybko by się skończyła. Ale od czego jest oktawa? Jeśli wyjdziemy za bardzo w górę, możemy 'skoczyć' o oktawę w dół. Praktyka jest taka, że stroi się dźwięki w obrębie środkowej (razkreślnej) oktawy i jej okolic, a następnie do nich już oktawami dostraja się resztę klawiatury.

Strojenie ze 'schodzeniem' raz na jakiś czas o oktawę w dół przypomina trochę działanie w grupie Z12. Kwinta to 7 półtonów, oktawa to 12 i są to liczby względnie pierwsze, więc możemy używając samych kwint nastroić wszystkie dźwięki z oktawy. Wychodząc od jakiegoś dźwięku, powiedzmy a1 i przechodząc po wszystkich 12 dźwiękach z zakresu wybranej oktawy, trafimy z powrotem na a1. I tutaj czeka nas przykra niespodzianka - dźwięk, który otrzymaliśmy, wyraźnie różni się od naszego wyjściowego a1. Dlaczego?

Skala temperowana

Na tym muzycy 'zawiesili' się na wiele stuleci. Już w czasach Pitagorasa wyliczono tę niedokładność (nazywając ją komatem pitagorejskim), ale nie było wtedy praktycznej potrzeby rozwiązania tej kwestii, bo nie było przecież fortepianów. Problem wypłynął wraz z pojawieniem się instrumentów o stałym stroju: organów, klawikordów, a później klawesynów. Radzono sobie z nim strojąc te instrumenty tak, że dało się na nich grać tylko w niektórych tonacjach. W średniowieczu czy renesansie nie przeszkadzało to zbytnio, ale już w baroku zaczęło wyraźnie dawać się we znaki.

Pojawiały się różne pomysły rozwiązania, np. skale dźwiękowe, w których na cztery oktawy przypadało 77 klawiszy (19 na oktawę). Już pitagorejczycy wymyślili skalę, która w oktawie miała aż 35 dźwięków (patrz wykres w artykule Harmonia liczb). Budowano też instrumenty, które miały pięć klawiatur jedna nad drugą. Oczywiście były one zupełnie niepraktyczne. Dopiero w pierwszej połowie XVIII wieku pojawił się pomysł temperowania skali.

Ucho ludzkie ma pewną tolerancję na niedoskonałości (to zjawisko jest nazywane strefowością słuchu) i jeśli dany interwał odrobinę zmniejszymy, nadal będziemy słyszeć ten interwał, a nie jakiś niedostrojony dwudźwięk.

Zaczęto więc stroić instrumenty, temperując każdą kwintę o dwunastą część komatu pitagorejskiego. Wtedy, po obejściu dwunastu dźwięków, rzeczywiście trafia się w wyjściowy dźwięk. Strój równomiernie temperowany polega na tym, że różnica wysokości między wyższym a niższym dźwiękiem półtonu jest taka sama dla wszystkich półtonów. Skoro dwanaście półtonów ma się złożyć do oktawy (czyli częstotliwość wynikowa ma być dwa razy większa od wyjściowej), to iloraz częstotliwości wyższego i niższego dźwięku z dowolnego półtonu musi być równy .

I tutaj widzimy powód, dla którego fortepianu nie da się czysto nastroić: ,
gdzie to interwał złożony z siedmiu półtonów temperowanych, czyli kwinta temperowana, a 3/2 to kwinta czysta.

Małe różnice wysokości dźwięków określa się w centach [ct]. Sto centów daje jeden półton, czyli jeden cent to . Jeśli zatem mamy dźwięki o częstotliwościach a i b, to ich różnica wyrażona w centach
jest równa 1200 log2.

Tymczasem komat pitagorejski w centach jest równy: 1200 log2,
zatem różnica między kwintą czystą i temperowaną to tylko około 2 ct.

Może warto spróbować z innymi interwałami? Spójrzmy na poniższe zestawienie.

liczba półtonów
nazwa interwału
czysty
temperowany
różnica [ct]
1 sekunda mała 17 : 16 1,059 5
2 sekunda wielka 9 : 8 1,122 4
3 tercja mała 6 : 5 1,189 16
4 tercja wielka 5 : 4 1,260 -14
5 kwarta 4 : 3 1,335 -2
6 tryton 7 : 5 1,414 -17
7 kwinta 3 : 2 1,498 2
8 seksta mała 8 : 5 1,587 14
9 seksta wielka 5 : 3 1,682 -16
10 septyma mała 9 : 5 1,782 18
11 septyma wielka 15 : 8 1,888 -12
12 oktawa 2 : 1 2,000 0

W przypadku kwinty i kwarty (nie licząc oktawy) różnica między interwałem czystym i temperowanym jest najmniejsza. Oprócz tego przy strojeniu innymi interwałami trudnością byłoby wychwycenie wysokich alikwotów (np. przy septymie wielkiej trzeba byłoby porównywać odpowiednio 15. i 8. składową odpowiednich dźwięków, co jest praktycznie niewykonalne). W praktyce stosuje się albo strojenie kwintami (ze schodzeniem raz na jakiś czas oktawami w dół), albo schemat 'kwinta w górę - kwarta w dół - kwinta w górę - kwarta w dół' itd., raz na jakiś czas schodząc w dół o dwie kwarty.

Stroiciel wie, jakiej częstotliwości dudnienia powinien wysłyszeć. Dla oktawy razkreślnej, od której zaczyna się strojenie, jest to mniej więcej 0,9-1,4 Hz. Dla pewności jednak w trakcie strojenia co pewien czas sprawdza się, czy brzmią inne interwały, np. tercje. Jeśli nie, poprawia się strojony właśnie dźwięk i delikatną korektę nanosi również na dźwięki poprzednie.

Część ludzi nie akceptuje stroju równomiernie temperowanego. Ich zdaniem zubaża to dźwięk, potęgę i piękno brzmienia interwałów. Tak naprawdę niewiele osób jest w stanie wysłyszeć różnicę między interwałem czystym a temperowanym. Są to przede wszystkim muzycy mający do czynienia z instrumentami bezprogowymi, np. skrzypcami lub innymi, na których można osiągać wszystkie pośrednie częstotliwości. Mają oni bardzo dobrze wyćwiczony słuch i słyszą niuanse niedostępne dla zwykłego człowieka.

Ucho ludzkie nie słucha do końca matematycznych reguł. Badania wskazują, że większość ludzi dźwięki wysokie odbiera jako trochę niższe niż by wskazywała ich częstotliwość. Z drugiej strony, struny też nie do końca poddają się prostemu matematycznemu opisowi. Są zrobione ze sztywnych kawałków stali. Ta sztywność powoduje, że w najwyższych dźwiękach wysokie składowe brzmią wyżej niż powinny. Pierwszy z podanych powodów jest argumentem za rozszerzeniem stroju w wysokiej części klawiatury, drugi - wręcz przeciwnie. W praktyce niektórzy stroiciele w skrajnych częściach klawiatury odrobinę zwężają strój, inni rozszerzają, a jeszcze inni stroją zgodnie z równomierną temperacją. Często uzależniają to od brzmienia konkretnego instrumentu: jeśli jest zbyt matowe, wystarczy nastroić fortepian trochę szerzej i brzmienie się odrobinę wyostrzy i na odwrót.

Również w obrębie jednego klawisza niektórzy nie stosują idealnie równych wysokości. Trzeba pamiętać, że w praktyce mamy do czynienia nie z matematycznym, doskonałym modelem, a z fizycznym instrumentem, ze wszelkimi jego niedokładnościami, z nieregularnym filcem na młoteczkach itd. Nigdy nie zdarza się, żeby młoteczek pobudził wszystkie trzy struny idealnie w tym samym momencie. A jeśli zdarzy się wzbudzić dwie fale o tych samych częstotliwościach, ale w przeciwnych fazach, będą one nawzajem się wygaszały zamiast wzmacniać, w efekcie czego do płyty rezonansowej zostaną przekazane drgania bardzo słabe. Właśnie po to, by uniknąć tego problemu, struny w obrębie jednego klawisza delikatnie się rozstraja, tak by różnice nie przekroczyły jednego centa.

Zatem fortepianu nie da się nastroić czysto, tak by jednocześnie nie było żadnych przykrych dla ucha dudnień oraz by dało się na nim grać wszystko we wszystkich tonacjach. Jednak niedoskonałość naszego ucha, jego tolerancja sprawiają, że strój równomiernie temperowany jest nie tylko wygodny, ale zupełnie zadowalający.

Bibliografia

http://www.daktik.rubikon.pl/Slowniczek/akustyka.htm
http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzwiek_muzyczny

 

 

Złota proporcja = złoty środek?

Zauważmy, że pojawiają się tu stosunki 2/3; 3/5 ; 5/8, które są ilorazami kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego. Z kolei te ilorazy coraz lepiej przybliżają liczbę złotą \frac{1+\sqrt{5}}{2}. Zastanawiam się, jak wyglądałaby skala oparta na proporcjach z tego ciągu lub na liczbie złotej ;)

Pitagorejczycy

Swoją drogą Pitagorejczycy kopnęli w kalendarz, kiedy odkryli, że √2 jest niewymierny, tak jak \sqrt[12]{2}. Chyba skala temperowana by im się nie spodobała. A co dopiero jakby słyszeli o π, która jest nie tylko niewymierna, ale i przestępna...

Fakt, że liczby wymierne są wyjątkowe. Jest ich "dużo mniej" niż niewymiernych. Chociaż... jest taki żart:
- Wiesz ile jest liczb niewymiernych?
- Trzy.
Spytaj znajomych o przykład liczby niewymiernej. Zawsze odpowiadają π, e lub √2.

Gdyby kogoś zaciekawiły te problemy, gorąco polecam "Diamenty matemtatyki" Krzysztofa Ciesielskiego i Zdzisława Pogoda. A z historii matematyki warto przeczytać Wykłady Marka Kordosa. Tych trzech matematyków ma doskonałe zdolności dydaktyczne i kapitalne poczucie humoru.

Strojenie tercjami

Od wielu lat stroję pianina i bardzo dziękuję autorowi za ten artykuł. W swojej pracy nauczyłem się wykorzystywać interwał tercji, gdyż tercja wielka, w stroju równomiernie temperowanym dudni w środkowej oktawie kilkanaście Hz. Szybkość tych dudnień wyraźnie rośnie od ok. 9 w interwale, a cis1 do 18 Hz oktawę wyżej. Kwinta w tym zakresie dudni bardzo powoli od 0,75 Hz (a - e1). Dudnienia interwałów przyśpieszają wraz ze wzrostem częstotliwości i podwajają się co oktawę. Dudnienia tercji są wynikiem kompromisu stroju równomiernie temperowanego i wyraźnie zakłócają brzmienie akordów. Akordy czyste lepiej wyrażają emocje w muzyce i, mam nadzieję, nigdy nie odejdą w niepamięć instrumenty bezprogowe.

Jak się o czymś pisze

Jak się o czymś pisze, to trzeba wiedzieć, o czym się pisze... Zwłaszcza gdy z naszych, publicznych pieniędzy pobiera się uniwersytecką pensję... A pisze Pan, że "dopiero w pierwszej połowie XVIII wieku pojawił się pomysł temperowania skali". Informuję Pana, że pierwsza wzmianka o praktyce temperacji pochodzi z traktatu Gafuriusa ("Practica musica", 1496), w którym autor wspomina, iż w organach kwinty strojone są w taki sposób, że są lekko pomniejszone, i operację tę nazywa "participatą". Nie mówiąc już o "ojcu" praktyki temperacji, Guido z Arezzo, Aronie, Vincentinie, Santa Marii, żeby tylko wymienić autorów z XVI wieku. Lektura do czytania: J.M. Barbour: "Tuning and Temperament - a Historical Survey", Mineola 2004.

Mikołaj Kuńczyk - absolwent FTiMS PW, akademii muzycznej i konserwatorium paryskiego
Na uniwersytecie nie pracuję, ale za to wiem to, czego Pan nie wie.

Szanowny Panie

Szanowny Panie Mikołaju! Miło, że Pan uściślił i podsunął lekturę Autorowi. Może Pan też napisze artykuł o temperacji. Zawsze miło się czegoś dowiedzieć.

Szanowny panie

Szanowny panie Mikołaju Kuńczyk. Wszystkich rozumów-eś Pan czasem nie pozjadał? Polecam lekturę książeczki pana Kamyczka pt. "Savoir-vivre". Wiedza, nawet najgłębsza, nie usprawiedliwia obcesowości. Aaaaa i wiem, że Kamyczek był kobietą... 

Znana odpowiedź

Odpowiedź, dlaczego nie pracuje Pan na uniwersytecie, nasuwa się sama...
Aż przykro, że i na tym portalu trzeba czytać takie komentarze. Proponuję przenieść się na www.pudelek.pl

Dlaczego klawiatura fortepianu wygląda tak jak wygląda??

Ale dlaczego klawiatura fortepianu wygląda tak jak wygląda? Jeśli ktoś tu jeszcze zagląda (może sam autor tego ciekawego artykułu) wytłumaczy, dlaczego klawiatura podzielona jest na klawisze białe i czarne? Pojęcia półtonu sztucznego i naturalnego tego nie wyjaśniają. Jeśli dobrze zrozumiałem, to (przy przyjęciu tolerancji stroju temperowanego) nie ma relatywnej różnicy pomiędzy interwałem np. 'e-f' a np. 'f-fis'. Skąd więc takie rozróżnienie na klawiaturze? Czy dobrze rozumiem, że gdyby nie wygoda grającego, to można by te wszystkie klawisze ułożyć w jednym szeregu jako same białe i byłoby to zupełnie właściwe? Albo np. pogrupować je jako 6+6 (co mogłoby być nawet wygodniejsze)? Zaciekawiło mnie to, a nie mogę znaleźć uzasadnienia.

Czarne i białe

Na mój gust podział na klawisze białe i czarne jest historyczny. Białe klawisze odpowiadają skali C-dur, czarne uzupełniają tą skalę o brakujące półtony. Na gryfie gitarowym w oktawie jest 12 półtonów i nie ma żadnego rozróżnienia na białe i czarne - półton to półton.
Moim zdaniem nazewnictwo dźwieków takie, jak się obecnie stosuje - 7 liter alfabetu plus krzyżyki - trochę miesza i utrudnia początkującemu adeptowi zrozumienie idei. Ale ja się nie znam. Czasem tylko sobie na gitarce pobrzdąkam.

Oczywiście

Oczywiście, że układ klawiszy czarnych i białych jest uwarunkowany historycznie. Okazał się tak wygodny i łatwy do stosowania, że inne rozłożenie nie miało szans się upowszechnić. Przypomina mi to historię klawiatury komputera - próbowano układu klawiszy ABCD, ale maszynistki i sekretarki przyzwyczajone do klawiatury QWERTY wymusiły taki właśnie układ. A co do nazw nut - to po prostu pierwsze litery alfabetu, albo pierwsze sylaby łacińsiej piosenki do, re, mi, fa.

Nazwy dźwięków

CDEFGAH to istotnie początek alfabetu. W notacji anglosaskiej H nazywa się B. Najwyraźniej utwory komponowano na początku w tonacji A-Dur. Nazwy solmizacyjne wydaje mi się, że pochodzą od Arabów, nie z łaciny.

Alfabet jest OK

Alfabet się zgadza, jeśli zacząć od A, co odpowiada gamie a-moll naturalnej. I - jeśli się nie mylę - to tylko w Polsce dźwięk "b" ma nazwę "h".

Nazwy dzwięków

W Polsce i kilku innych krajach północnej Europy (w tym Holandii i sporadycznie w krajach skandynawskich) dźwięk B ma nazwę H. W pozostałych krajach kultury zachodniej jest stosowane oznaczenie B, co moim zdaniem wynika z prostej, logicznej i naturalnej kolejności literowej: A B C D E F G. Gdzieś czytałem (zgubiłem źródło), że oznaczenie H powstało w dawnych czasach z powodu błędu jakieś niemieckiego kopisty nut. Dokładna tabela oznaczeń dźwięków w różnych krajach jest tutaj: http://en.wikipedia.org/wiki/Note

Co by było gdyby...

A co byłoby, gdyby klawiaturę fortepianu stworzyć tak, by wyeliminować półtony naturalne? Dlaczego klawiatura wygląda tak, jak wygląda, a nie jest ułożona kolejno półtonami biały-czarny-biały-czarny itd.? Spowodowałoby to przesunięcie dźwięków f, g, a, h na klawisze czarne. Czy takie rozwiązanie nie wydaje się prostsze od systemu równomiernie temperowanego? Dlaczego półtony naturalne są akurat między 3-4 i 7-8 stopniem? Ta teoria łamie oczywiście większość zasad muzyki, ale nie jest chyba nieosiągalna.

Skala organów Hammonda

Czy skala organów Hammonda nie jest lepsza od skali temperowanej? Tzn. zawsze mi się wydawało, że organy Hammonda brzmią przyjemniej.

Utworów nie komponowano

Utworów nie komponowano w a-dur, bo kiedy powstały nazwy literkowe, człowiek nie znał jeszcze kontrapunktu, a co za tym idzie - harmonii klasycznej, której głównym aspektem jest system dur-moll.
Nazwy solmizacyjne pochodzą z fragmentu łacińskiego hymnu do św. Jana. "UT queant laxis, REsonare fibris. MIra gestorum, FAmuli tuorum. SOLve polluti LAbii reatum Sancte Ioannes"(wielkimi literami oznaczyłem dźwięki solmizacyjne). "ut" zostało zamienione na "do" z powodu trudności przy śpiewaniu sylaby kończącej się spółgłoską.

Bzdura

"Nazwy solmizacyjne wydaje mi się, że pochodzą od Arabów, nie z łaciny."
Bzdura. Nazwy solmizacyjne stworzył Guido z Arezzo opierając na pierwszych sylabach zaczynających wersety do Hymnu ku czci św. Jana Chrzciciela.

UT queant laxis
REsonare fibri
MIra gestorum
FAmuli tuorum
SOLve polluti
LAbii reatum
Sancte Ioannes.

Początkowo solmizacja opierała się na sześciu tonach: ut, re, mi, fa, sol, la. Z czasem dodano siódmy stopień 'si' oraz zamieniono 'ut' na 'do' dla nadania dźwięczności. Nazwa 'ut' przetrwała we francuskim systemie dźwięków.

Jak się o czymś pisze, to nie po chamsku

Panie Kuńczyk, jest Pan po prostu fantastyczny! Tyle Pan wie i w ogóle. I tak pięknie Pan potrafi "dowalić" człowiekowi, który w dobrej wierze dzieli się z nami dostępną sobie wiedzą i doświadczeniem. No i co, zwiędły od tego pańskie kompleksy? Pewnie nie. Niech się Pan nie martwi, na pewno w końcu się Panu uda. Niech Pan próbuje dalej.

Dlaczego 'do'

Zgadza się. 'Ut' zostało zastąpione przez 'do' we Włoszech dla upamiętnienia zasług florenckiego teoretyka muzyki Giovanniego Battisty Doniego (1594-1647).

Drogi Czingiale, stosunki

Drogi Czingiale,

stosunki które wymieniłeś owszem, pojawiają się - ale tylko dlatego, że mowa jest o ułamkach, które mają możliwie mały mianownik.

Jak w tekście zostało przypomniane, pitagorejczycy zauważyli, że im mianownik jest większy (mowa o liczbach niepodzielnych), tym współbrzmienie bardziej doskonałe; bo dźwięki uzupełniają swoje harmoniczne.

Natomiast kolejne wyrazy uciągu Fibonacciego są coraz większe - zatem interwały wyrażone przez stosunek kolejnych liczb będą brzmiały coraz gorzej.

Sama złota liczba, którą przytoczyłeś, to stosunek częstotliwości odpowiadający interwałowi nieco większemu niż tryton, a mniejszemu niż mała seksta. Nie należy do czystych współbrzmień i brzmi wyjątkowo fałszywie w każdym systemie dźwiękowym.

Ideą złotej liczby jest podział pewnej wielkości na SUMĘ dwóch mniejszych, tak że ta suma i wielkości powstałe z podziału tworzą odpowiednią proporcję. Ta suma jest tutaj kluczowa.

Tymczasem jeżeli chodzi o dźwięki, to interwały tworzy się przez mnożenie częstotliwości dźwięków, a nie ich sumowanie - częstotliwości w skali są rozmieszczone logarytmicznie. Dlatego dodawanie jakiejś częstotliwości da zupełnie inne efekty w zależności od tego do jakiej wielkości ją dodamy - idea sumowania częstotliwości nie jest zgodna z tym, jak nasze zmysły odbierają częstotliwość, więc nie ma interwałów, które by pasowały do złotego podziału.

Matematyczny punkt widzenia

Jestem zawodowym muzykiem,  gram na wiolonczeli i fortepianie. I muszę napisać, że w praktyce opisane w tym artykule różnice mają bardzo małe znaczenie.Ktoś wcześniej zapytał, dlaczego nie można by ułożyć fortepianowych klawiszy półton po półtonie. Nie ze względów historycznych, a praktycznych - na klawiaturze, jaką znamy i kochamy, przeciętny człowiek zdoła złapać maksymalnie oktawę, może nonę (oktawa + sekunda), więc nie wyobrażam sobie, jak szeroko musiałby sięgać, gdyby wszystkie klawisze byłyby jeden obok drugiego. Pozdrawiam ścisłe umysły :)

Powrót na górę strony