Pierwiastkowce

Data ostatniej modyfikacji:
2011-12-22
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
arytmetyka
matematyka rozrywkowa
precalculus
liczby rzeczywiste
Uwaga: nazwa 'pierwiastkowce'
nie występuje w matematyce.

 
Popatrz na poniższą kolekcję pierwiastkowców:

Co to właściwie jest?
Trochę przypominają one zapisy rozwinięć okresowych 0,123123123123123123....
Zatem może to są liczby?

Niektóre z tych pierwiastkowców można znaleźć w zbiorach zadań, na przykład ostatni

Czym wobec tego są pierwiastkowce?
Można uważać je za skrótowy zapis pewnych ciągów.

Na przykład pierwiastkowiec

można uważać za ciąg:

Gdy obliczamy kolejne wyrazy tego ciągu, trzeba żmudnie liczyć 'od prawej'. Na kalkulatorze, aby obliczyć piąty wyraz ciągu naciskamy sekwencję klawiszy:

Gdyby mieć taki jeden klawisz f, który do zastanej na wyświetlaczu liczby dodaje 2 i potem oblicza pierwiastek (można go zdefiniować na kalkulatorach z klawiszem ANS), to mielibyśmy:

Zauważ, że wygodnie jest wtedy zacząć od x0 = 0.

Ciekawe, że zaczynając od innych wartości początkowych, np. x0 = 2011/2012, dostajemy inny ciąg, ale zbieżny do tej samej liczby.

Za pomocą arkusza kalkulacyjnego można testować wiele takich ciągów. Sprawdź:

f


x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
x18
x19
x20
x21
x22
x23
x24
x25
a26
x27
x28
x29
x30

Dla pierwszego pierwiastkowca

trzeba zdefiniować inny klawisz f:
Taki ciąg można spotkać w... tablicach trygonometrycznych

Ćwiczenie.   Znajdź p takie, że

 


 

Pierwiastkowiec można też utożsamiać z liczbą będącą granicą ciągu (xn).
Obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym przekonują, że

Jak obliczyć graniczną liczbę dla innych przykładów? Ile to jest ?

Jeśli wiemy, że ciąg (xn) stowarzyszony z jakimś pierwiastkowcem, jest zbieżny do liczby do g,
to i xn, i xn+1 są prawie równe g, dla dużych wartości n.
Mamy

Stąd wnioskujemy, że g spełnia równanie
g 2   =   2 + g .
To równanie ma dwa rozwiązania:  -1  i  2.
Oczywiście -1 nie może być granicą ciągu o wyrazach dodatnich, więc  
g   =   2 ,

 

Ciekawiej jest z liczbą h reprezentującą pierwiastkowiec

Rozumując jak poprzednio, widzimy, że liczba h spełnia równanie
czyli h jest jednym z rozwiązań równania
h 3   =   4 + h .
Niestety w szkole nie uczy się metod rozwiązywania takich równań.
Pozostaje nam zadowolić się przybliżeniem z arkusza kalkulacyjnego
h   =   1,7963219032594415... .
Ciekawostka

 

Jeszcze ciekawiej jest z liczbą w reprezentującą pierwiastkowiec

Rozumując jak poprzednio, otrzymujemy, że liczba w spełnia równanie
czyli w jest jednym z rozwiązań równania
w 5   =   5 + w .
Od 200 lat wiadomo, że nie ma ogólnych wzorów na równania stopnia > 4 (co udowodniono).
Zatem skazani jesteśmy na przybliżenia

Pierwiastkowiec, a raczej związany z nim ciąg, jest (pewnym) sposobem na przybliżone rozwiązywanie niektórych równań. Tak właśnie trzeba myśleć o pierwiastkowcach.

 



 

Następny przykład jest odmienny od poprzednich. Rozważmy pierwiastkowiec

Stowarzyszony z nim ciąg zaczyna się następująco:
Odmiennie niż we wszystkich poprzednich przykładach, ciąg ten trudno określić jest zależnością rekurencyjną. Jak zatem uzasadnić, że ciąg ten jest zbieżny?
Ten ciąg oczywiście jest rosnący, ale czy jest ograniczony? Może rośnie do nieskończoności?
Potrzebny nam będzie lemat (pomocnicze twierdzenie):

Lemat 1.    2 n > n   dla każdej liczby naturalnej n.

Dowód.

Pokażemy, że 4 ogranicza wszystkie wyrazy tego ciągu, pokażemy nierówność

Mamy bowiem:

 



 

Rozważmy na koniec jeszcze jeden przykład pierwiastkowca

Tu łatwiej niż poprzednio określić rekurencyjnie ciąg (xn). Spróbuj.
Oczywiście jest on rosnący. Czy jest ograniczony?
Sprawdź poniższe rozumowanie.

 


 

Lemat 2.   

Dowód.
Oznaczmy przez z sumę

Liczba z spełnia równanie    z   =   1/2 + 1/2 . z  (dlaczego?).
Zatem  z = 1.

Pomysł dowodu lematu jest pokazany na poniższym rysunku. Prześledź to rozumowanie.
(Stając myszką nad fragmentami rysunku zobaczysz podpowiedzi.)

 



 

Uwaga do samych dwójek

Ciag z dwójkami pod pierwiastkami ma swój ciekawy odpowiednik w geometrii.
A mianowicie:
   przekątna kwadratu o boku 1 wynosi ,
   najkrótsza przekątna ośmiokąta foremnego o boku 1 wynosi ,
   najkrótsza przekątna 16-kąta foremnego o boku 1 wynosi ,
   najkrótsza przekątna 32-kąta foremnego o boku 1 wynosi itd.
Ten ciąg wyraża więc długości najkrótszych przekątnych wielokątów foremnych o boku 1 i liczbach boków będących potęgami dwójki. Dokładniej: xn opisuje tę długość dla 2n+1-kąta foremnego.

Powrót na górę strony