Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js
  • STRONA GŁÓWNA
  • MAPA PORTALU
  • KALENDARZ
  • O PORTALU
  • WYKRESownik      Edytor wzorów TeXa
MAT-ŚWIAT › Szalone liczby

Pierwiastkowce

 więcej informacji o tekście:
Krzysztof Omiljanowski

Uwaga: nazwa 'pierwiastkowce'
nie występuje w matematyce.

 
Popatrz na poniższą kolekcję pierwiastkowców:

Co to właściwie jest?
Trochę przypominają one zapisy rozwinięć okresowych 0,123123123123123123....
Zatem może to są liczby?

Niektóre z tych pierwiastkowców można znaleźć w zbiorach zadań, na przykład ostatni

Czym wobec tego są pierwiastkowce?
Można uważać je za skrótowy zapis pewnych ciągów.

Na przykład pierwiastkowiec

można uważać za ciąg:

Gdy obliczamy kolejne wyrazy tego ciągu, trzeba żmudnie liczyć 'od prawej'. Na kalkulatorze, aby obliczyć piąty wyraz ciągu naciskamy sekwencję klawiszy:

Gdyby mieć taki jeden klawisz f, który do zastanej na wyświetlaczu liczby dodaje 2 i potem oblicza pierwiastek (można go zdefiniować na kalkulatorach z klawiszem ANS), to mielibyśmy:

Zauważ, że wygodnie jest wtedy zacząć od x0 = 0.

Ciekawe, że zaczynając od innych wartości początkowych, np. x0 = 2011/2012, dostajemy inny ciąg, ale zbieżny do tej samej liczby.

Za pomocą arkusza kalkulacyjnego można testować wiele takich ciągów. Sprawdź:

f


x0
x1 1,414213562373095171,731907324918789
x2 1,847759065022573531,9318145161787112
x3 1,96157056080646092,236067977499791,9828803585135215
x4 1,99036945334439392,05817102727149241,9957155003941622
x5 1,9975909124103452,01449026487384451,998928588117685
x6 1,99939763739240872,00361929140091,9997321290907153
x7 1,9998494036782892,00090461826667281,9999330311514723
x8 1,99996235056520222,0002261417816421,999983257717792
x9 1,99999058761915242,0000565346463691,9999958144250682
x10 1,99999764690340382,00001413361165261,9999989536059932
x11 1,99999941172576452,0000035333997921,9999997384014814
x12 1,99999985293143582,0000008833497531,9999999346003692
x13 1,99999996323285872,0000002208374261,9999999836500926
x14 1,99999999080821472,00000005520935581,999999995912523
x15 1,99999999770205372,0000000138023391,999999998978131
x16 1,99999999942551332,00000000345058471,9999999997445326
x17 1,99999999985637822,0000000008626461,999999999936133
x18 1,99999999996409452,00000000021566131,9999999999840332
x19 1,99999999999102362,0000000000539151,9999999999960083
x20 1,99999999999775582,00000000001347861,9999999999990021
x21 1,99999999999943912,00000000000336971,9999999999997504
x22 1,99999999999985942,00000000000084241,9999999999999376
x23 1,99999999999996472,00000000000021051,9999999999999842
x24 1,99999999999999112,00000000000005241,9999999999999962
x25 1,99999999999999782,0000000000000131,9999999999999991
a26 1,99999999999999932,0000000000000031,9999999999999998
x27 1,99999999999999982,0000000000000012
x28 222
x29 222
x30 222

Dla pierwszego pierwiastkowca

trzeba zdefiniować inny klawisz f:
Taki ciąg można spotkać w... tablicach trygonometrycznych

Ćwiczenie.   Znajdź p takie, że

 

 

Pierwiastkowiec można też utożsamiać z liczbą będącą granicą ciągu (xn).
Obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym przekonują, że

Jak obliczyć graniczną liczbę dla innych przykładów? Ile to jest ?

Jeśli wiemy, że ciąg (xn) stowarzyszony z jakimś pierwiastkowcem, jest zbieżny do liczby do g,
to i xn, i xn+1 są prawie równe g, dla dużych wartości n.
Mamy

Stąd wnioskujemy, że g spełnia równanie
g 2   =   2 + g .
To równanie ma dwa rozwiązania:  -1  i  2.
Oczywiście -1 nie może być granicą ciągu o wyrazach dodatnich, więc  
g   =   2 ,

 

Ciekawiej jest z liczbą h reprezentującą pierwiastkowiec

Rozumując jak poprzednio, widzimy, że liczba h spełnia równanie
czyli h jest jednym z rozwiązań równania
h 3   =   4 + h .
Niestety w szkole nie uczy się metod rozwiązywania takich równań.
Pozostaje nam zadowolić się przybliżeniem z arkusza kalkulacyjnego
h   =   1,7963219032594415... .
Ciekawostka

 

Jeszcze ciekawiej jest z liczbą w reprezentującą pierwiastkowiec

Rozumując jak poprzednio, otrzymujemy, że liczba w spełnia równanie
czyli w jest jednym z rozwiązań równania
w 5   =   5 + w .
Od 200 lat wiadomo, że nie ma ogólnych wzorów na równania stopnia > 4 (co udowodniono).
Zatem skazani jesteśmy na przybliżenia

Pierwiastkowiec, a raczej związany z nim ciąg, jest (pewnym) sposobem na przybliżone rozwiązywanie niektórych równań. Tak właśnie trzeba myśleć o pierwiastkowcach.

 

 

Następny przykład jest odmienny od poprzednich. Rozważmy pierwiastkowiec

Stowarzyszony z nim ciąg zaczyna się następująco:
Odmiennie niż we wszystkich poprzednich przykładach, ciąg ten trudno określić jest zależnością rekurencyjną. Jak zatem uzasadnić, że ciąg ten jest zbieżny?
Ten ciąg oczywiście jest rosnący, ale czy jest ograniczony? Może rośnie do nieskończoności?
Potrzebny nam będzie lemat (pomocnicze twierdzenie):

Lemat 1.    2 n > n   dla każdej liczby naturalnej n.

Dowód.

Pokażemy, że 4 ogranicza wszystkie wyrazy tego ciągu, pokażemy nierówność

Mamy bowiem:

 

 

Rozważmy na koniec jeszcze jeden przykład pierwiastkowca

Tu łatwiej niż poprzednio określić rekurencyjnie ciąg (xn). Spróbuj.
Oczywiście jest on rosnący. Czy jest ograniczony?
Sprawdź poniższe rozumowanie.

 

 

Lemat 2.   

Dowód.
Oznaczmy przez z sumę

Liczba z spełnia równanie    z   =   1/2 + 1/2 . z  (dlaczego?).
Zatem  z = 1.

Pomysł dowodu lematu jest pokazany na poniższym rysunku. Prześledź to rozumowanie.
(Stając myszką nad fragmentami rysunku zobaczysz podpowiedzi.)

 

 

Uwaga do samych dwójek

hypotenuza (niezweryfikowany), sobota, 14/01/2012 - 19:25
Ciag z dwójkami pod pierwiastkami ma swój ciekawy odpowiednik w geometrii.
A mianowicie:
   przekątna kwadratu o boku 1 wynosi $ d = x_1 =\sqrt{2}$,
   najkrótsza przekątna ośmiokąta foremnego o boku 1 wynosi $d = x_2 =\sqrt{2+\sqrt{2}}$,
   najkrótsza przekątna 16-kąta foremnego o boku 1 wynosi $d = x_3 =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$,
   najkrótsza przekątna 32-kąta foremnego o boku 1 wynosi $d = x_4 =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} $ , itd.
Ten ciąg wyraża więc długości najkrótszych przekątnych wielokątów foremnych o boku 1 i liczbach boków będących potęgami dwójki. Dokładniej: xn opisuje tę długość dla 2n+1-kąta foremnego.

Powrót na górę strony