Połowiąca i pole, i obwód trójkąta

Data ostatniej modyfikacji:
2015-08-25
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna

 

Rozgrzewka. Wielokrotnie będziemy używali wzoru

           (p + q + r) 2   =   p2 + q2 + r2 + 2pq + 2pr + 2qr.
 

Uzasadnienie tego wzoru dla p, q, r > 0 można odczytać z rysunku obok po podpisaniu pól zaznaczonych prostokątów.
Ten wzór jest prawdziwy dla wszystkich liczb.
Wystarczy mozolnie pomnożyć (p + q + r)(p + q + r) i już.

 


 

Na rysunku obok prosta PQ dzieli trójkąt na dwie części o równych polach i obwodach.

Czy dla dowolnego trójkąta istnieje prosta dzieląca go
na dwie części o równych polach i obwodach?


 

 


 

Dla trójkątów osiowosymetrycznych (czyli trójkątów równoramiennych) oś symetrii oczywiście dzieli i pole, i obwód na połowy.


W trójkącie równoramiennym prostokątnym nie tylko oś symetrii dzieli obwód i pole na połowy. Na rysunku obok prosta A'C' || AC, gdzie BC'  =  1/, też jest dobra. Sprawdź!

Na rysunku obok prosta A'C' dzieli trójkąt ABC na dwie części o równych obwodach, bowiem wystarczy sprawdzić (dlaczego?), że
       BA' + BC'  =  (AB + AC + BC).
 
Porównując podstawy trójkątów, zauważamy, że
  PBA'C' = BC'/BC . PBA'C = BC'/BC . BA'/BA . PBAC.
Zatem prosta A'C' połowi pole, gdy
       BA' . BC'  =  . BA . BC
Tak jest w istocie, bo
       (6-) . (6+)  =  62 - 6 = 30 = . 10 . 6.

 


 

Twierdzenie 1.
W trójkącie ABC niech a=BC, b=AC, c=AB i abc.
Niech A', C' leżą na bokach BA, BC i

Wtedy prosta A'C' dzieli pole i obwód trójkąta ABC na połowy.

Dowód 

*   Nietrudno sprawdza się, że prosta A'C' dzieli obwód trójkąta ABC na połowy:

*   Prosta A'C' dzieli pole trójkąta ABC na połowy, bo widać, że a'c' = . ac, bowiem

To nie koniec dowodu. Trzeba jeszcze sprawdzić kilka nierówności.

*   Wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne, bo

*   a' a, bo

*   c' c, bo

*   0 c', bo

*   0 a', bo

 


 


 
Uwaga 1
Przy założeniach jak w twierdzeniu 1 można pokazać, że
    A'C' || AC wtedy i tylko wtedy, gdy b = (-1)(a+c),
  bowiem

 


 


Uwaga 2
Czy dla figury obok istnieje prosta, która dzieli jej pole i obwód na połowy?
To zadanie jest beznadziejne rachunkowo, tzn. wyznaczenie takiej prostej wzorem jest niemożliwe.
Jednak można łatwo uzasadnić istnienie takiej prostej.

 


 


Uwaga 3
W tekstach:
Wszystkie połowiące pole trójkąta,
Wszystkie połowiące obwód trójkąta,
Połowiące trójkąta w zadaniach
badaliśmy oddzielnie obie własności połowienia. Zajrzyj tam koniecznie.

 



 

Zagadki

Nieźle się przy tym nagłowiłem :)

Dzień dobry, skąd

Dzień dobry, skąd właściwie wzięły się równości:
a' = (a+b+c - √(a+b+c)^2 - 8ac)/4
c' = (a+b+c + √(a+b+c)^2 - 8ac)/4

Powrót na górę strony