Okruchy matematyki

Zbiór miniatur matematycznych dotyczących słynnych i mniej znanych problemów z zakresu geometrii, topologii i arytmetyki, rozwiązanych i takich, na które matematycy nie znaleźli jeszcze odpowiedzi. Zostały one opowiedziane bez specjalistycznych formalizmów, ale i bez spłycających ideę problemu uproszczeń. Artykuły zebrane są w trzech częściach wymagających od czytelnika coraz wyższej kultury matematycznej. Część pierwsza jest dostępna dla gimnazjalistów, część ostatnia wymaga poziomu rozszerzonej matury.

Całość opatrzona została piękną przedmową prof. Marka Kordosa - redaktora naczelnego miesięcznika Delta, w którym większość z zamieszczonych w książce tekstów była wcześniej publikowana. Zacytujmy jej fragment: Okruchy potocznie kojarzą się z mnogością oddzielonych, drobnych kawałeczków, z pozostawionymi gdzieś na boku fragmentami większych całości. Autor napisał, ze na takie właśnie okruchy miał apetyt podczas studiów. Mnie, patrzącemu z boku na ten apetyt, narzucała się jeszcze jedna cecha - on chciał te okruchy zbierać po to, by innych nimi karmić.

A oto kilka przykładów opisywanych w książce zagadnień (podajemy po 4 z każdej części):

• Punkty szczególne trójkąta,
• O podziale prostokąta na kwadraty,
• Linijka, cyrkiel i przybliżone rozwiązania wielkich problemów,
• Jak zakryć plamę na obrusie?
• Geometryczne sofizmaty,
• Figury o stałej szerokości,
• Własności figur izoperymetrycznych,
• Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym,
• O toczeniu wielokąta,
• Metryka a geometria przestrzeni,
• Zasada Banacha,
• Tajemnice nieskończonego wymiaru.

Szczególnie ciekawy wydaje się artykuł dotyczący sofizmatów geometrycznych, pokazujący jak ważne w matematyce jest precyzyjne prowadzenie rozumowania. Sofizmat to taki wywód logiczny, który zachowuje pozory poprawności, ale prowadzi do absurdalnego wniosku, gdyż zawiera celowo ukryty błąd logiczny (czasem oczywisty, a innym razem bardzo trudny do wykrycia). Czytając prezentowane rozumowania, każdy może sprawdzić swoją spostrzegawczość i umiejętność wychwycenia błędów. Autor przytacza osiem sofizmatów, które prowadzą do następujących stwierdzeń:

• Kąt prosty jest równy kątowi rozwartemu.
• Każdy trójkąt jest równoramienny.
• Jeżeli w czworokącie ABCD kąt A jest równy kątowi C, a bok AB jest równy CD, to czworokąt jest równoległobokiem.
• Kwadrat o boku 21 ma takie samo pole jak prostokąt o bokach 34 i 13.
• π = 2
• Aksjomat Euklidesa o równoległych można udowodnić za pomocą
  pozostałych aksjomatów geometrii.
• Powierzchnia sfery o promieniu R jest równa π²R².
• Wszystkie koła mają taki sam obwód.

Jeśli ktoś da się nabrać, znajdzie na koniec drobiazgowe wyjaśnienia, na czym polegają popełnione w rozumowaniach błędy logiczne.

Każdy artykuł stanowi niezależną całość, książkę można więc czytać w dość dowolnym porządku. Zawiera przejrzyste rysunki, które ułatwiają zrozumienie danego zagadnienia. W każdym artykule znajdziemy także wiele anegdot, uwag historycznych oraz przypisów biograficznych dotyczących różnych zdarzeń i postaci. Jeśli jakiś temat kogoś szczególnie zainteresuje, znajdzie pod tekstem wykaz literatury, w której można szukać dalszych informacji.