Dlaczego zerowa potęga daje zawsze 1?

Data ostatniej modyfikacji:
2012-07-21
Autor: 
Małgorzata Mikołajczyk
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
gimnazjum
szkoła średnia z maturą

W jaki sposób wytłumaczyć uczniom (tak, żeby byli przekonani), że cokolwiek (niezerowego!) podniesiemy do potęgi zerowej, zawsze będzie równe jeden?

Chyba najlepiej pragmatyzmem, ewentualnie względami estetycznymi. Ludzie od zarania dziejów starali się, aby ich wynalazki były pożyteczne i cieszyły oko. W matematyce (i nie tylko) również definiuje się pewne fakty w taki sposób, żeby ich użytkownikom było z tym wygodnie i elegancko.

Wielkość a0 mogłaby być zdefiniowana w dowolny sposób, ale gdy przyjmiemy, że a0=1, odnosimy z tego podwójną korzyść:

a) pragmatyczną,
bo zachodzi prawo działań na wykladnikach: ax : ay = ax-y, które bez tego by nie zachodziło,
wszak ax : ax = 1, więc powinno być ax-x = a0 = 1;

b) estetyczną
bo wielkość ax dla x bliskich 0 zbliża się do 1, zatem przyjmując a0=1 sprawiamy, że funkcja wykładnicza jest ciągła (czyli ładna i porządna), moglibyśmy przyjąć inaczej, ale wtedy w zerze uzyskalibyśmy jedyną dla tej funkcji nieciągłość (czyli wrzód na wykresie).

Jest to więc tylko kwestia umowy, ale umowy rozsądnej, ułatwiającej życie matematykom i czyniacej je piękniejszym. A to chyba przekonujący argument za takim wynalazkiem?

 

a>0

W matematyce jedną z najważniejszych rzeczy jest definicja. Z nią nie należy polemizować, a nawet uzasadniać matematycznie. Owszem uzasadnienia estetyczne i pragmatyczne są jak najbardziej potrzebne. Pozwalają lepiej zrozumieć idee, jakie kłębiły się w głowie matematyka - twórcy definicji. Ale i sama definicja bez potężnego aparatu twierdzeń i innych definicji nic nie wniesie w świat matematyczny, będzie bezużyteczna. Dlatego powyższe rozumowanie uzasadniające dlaczego liczba dodatnia podniesiona do potęgi 0 daje 1, można przyjąć jedynie w sferze pragmatycznej. Jest to tylko definicja pewnego symbolu. W sposób pragmatyczny i estetyczny nie da się już zdefiniować symbolu "zero do potęgi zerowej". No bo dziedzinę jakiej funkcji ciągłej w R+ poszerzyć o {0}, by dalej była ona ciągła? Kandydatów jest kilku, różnych odpowiedzi też kilka. Zatem nie zawsze jest 1.

Zero do zerowej

To bardzo ciekawe "kłopotliwe pytanie": dlaczego a0=1 zawsze poza przypadkiem a=0. Symbol 00 można zdefiniować jakkolwiek, ale ze względów pragmatycznych warto nie zburzyć przy tym wprowadzonych już własności potęgowania. W szczególności ciągłości. Mamy przecież konkretne implementacje (każdy z poniższych ciągów w granicy reprezentuje 00):

(\frac{1}{n})^{ \frac {1}{n}} \rightarrow1
(\frac{1}{2^n})^{ \frac {1}{n}} \rightarrow \frac{1}{2}
(\frac{1}{3^n})^ {\frac {1}{n}} \rightarrow \frac{1}{3}
(\frac{1}{n^n})^ {\frac {1}{n}} \rightarrow 0
Nie ma zatem żadnego naturalnego kandydata na wartość symbolu 00. Dlatego pozostaje on symbolem nieoznaczonym. Wytłumaczenie jest podobne do tego, jakiego użyto przy określaniu wyniku dzielenia zera przez zero.

Zero do zerowej

Mało pouczające wytłumaczenie. "Lepsze" jest wytłumaczenie wzięte bezpośrednio z a0, czyli 01/n=0 i dla zachowania ciągłości funkcji f(x)=0x mamy 00=f(0)=0.

Uwaga, dzieci!

Wpis WB to doskonały przykład jeszcze jednego "kłopotliwego pytania", ale nie zapominajmy, że do działu "Dodatki dla nauczyciela" mogą zaglądać także uczniowie. Więc wyraźnie informujemy, że 00 to nie jest 0. Powód, dla którego ten symbol nie ma żadnej wartości liczbowej, pokazała wcześniej Karola.

Mnożymy x przez x

Jeżeli pomnożymy 1 przez x, robiąc to y razy, wyjdzie x do potęgi y.
Jeżeli y=0, mnożymy 1 przez x zero razy, czyli nie mnożymy wcale, więc zostaje 1. Prawdziwe dla każdego rzeczywistego x oprócz 0, ale to już osobny rozdział :)

Najlepsza odowiedź!

Znalazłem to na jakimś forum. Nic nie zrozumiałem z bełkotu, który tu wypisujecie.
xn = 1·xn = 1 · x · x · ... · x. Gdy n=0, x-ów jest 0, zostaje jedynka.

Mam 27 lat

W tym wieku warto jednak czytać i rozumieć, co się czyta. Napisałeś to samo, co wpisujący przed Tobą. Widocznie cytujecie to samo źródło. A w ogóle to po co wchodzisz w teksty pisane dla nauczycieli? Wchodzisz na własne ryzyko, wiec nie narzekaj, że nie rozumiesz.

Nie zgadzam się

Nie zgadzam się z poglądem, że z definicjami nie należy polemizować. Matematykę tworzą ludzie i to ludzie decydują o definicjach. Spośród różnych możliwych uzgadniają jedną (najlepszą) i jej się trzymają, choć zdarza się, że i to się zmienia. Przykładem są liczby naturalne historycznie zaczynające się od 1, ale coraz częściej do liczb naturalnych zalicza się 0. Warto i należy mówić uczniom, dlaczego akurat taką definicje przyjęto.
Sama definicja tylko teoretycznie nic nie zmienia. Praktycznie organizuje myślenie.
Zero do potęgi zerowej oczywiście można bez problemu zdefiniować, na przykład przyjąć, że jest to 0. A że nie da się uciąglić funkcji xy dla x=0 i y=0, to zupełnie inny problem.

Dla x = 0 też to zadziała.

Dla x = 0 też to zadziała. mnożymy 1 przez 0 zero razy czyli nie mnożymy wcale i zostaje 1.

Jakikolwiek pierwiastek z

Jakikolwiek pierwiastek z zera nie jest równy zeru, bo nie istnieje, dlatego zero do zera nie jest równe 1 ani 0.
Wszystkie definicje mają swoje załozenia, zatem jak ich używamy, róbmy to kpleksowo.

potęga zero

tak, takie wyjaśnienie jest logiczne i eleganckie

Powrót na górę strony