Zad. 1. Pokaż, że różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 3.
Zad. 2. Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego 5x1, 5x2, 5x3,...
dla którego zachodzi x1+x2+...+x11 = 110 i x3=6 .
Zad. 3. Długości boków trójkąta spełniają warunek a2 = b2+bc. Pokaż, że w tym trójkącie kąt leżący naprzeciw boku o długosci a jest dwukrotnie większy od kąta leżącego naprzeciw boku o długości b.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 - Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Szymon Meyer II LO Opole, Błażej Mrzygłód Techn. nr 5 Opole, Николай Шамаев 131 Szkoła Ogólnokształcąca Charków (Ukraina), Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
- 2,5 - Konrad Bratek I LO Lwówek Śląski, Dawid Hanrahan I LO Brzeg i Alina Langa I LO Oleśnica;
- 2 - Kamila Bojar ZSP Szprotawa.
Pozostałym uczestnikom nie przyznano punktów.
Po dziewięciu miesiącach Ligi Zadaniowej Szkół Ponadgimnazjalnych w czołówce znaleźli się (w nawiasach podajemy liczby zdobytych punktów na 27 możliwych):
- I m. (27) Bartosz Czyżewski i Tomasz Stempniak,
- II m. (26) Николай Шамаев i Wojciech Wiśniewski,
- III m. (25) Szymon Meyer,
- IV m. (22,5) Dawid Hanrahan,
- V m. (22) Alina Langa.
Gratulujemy!
Zad. 1. Niech a i b będą liczbami niepodzielnymi przez 3. Wtedy reszta z dzielenia każdej z nich przez 3 wynosi 1 lub 2, tzn. mogą zajść 4 przypadki (1, 1), (2, 2), (1, 2) i (2, 1). Zauważmy, że a2–b2 = (a–b)(a+b). Rozpatrując te 4 przypadki, w dwóch pierwszych otrzymujemy dla (a–b) resztę z dzielenia przez 3 równą zero, a w dwóch następnych dla (a+b) otrzymujemy resztę 0.
Zad. 2. Zauważmy, że wykładniki x1, x2,..., x11 tworzą ciąg arytmetyczny (dlaczego?). Dostanjemy dwa równania z dwiema niewiadomymi: 6 = x3 = x1+2r oraz 11·(x1+5r) = 110. Rozwiązanim tego układu jest para, w której x1=10/3, czyli pierwszy wyraz ciągu geometrycznego to 1253√5.
Zad. 3. Niech α i β oznaczają miary kątów trójkąta leżacych naprzeciw boków o długoścach odpowiednio a i b. Wtedy z twierdzenia kosinusów i własności a2 = b2+bc dostanjemy, że 2cosβ = a/b. Z twierdzenia sinusów mamy natomiast, że a/b = sinα/sinβ. Z obu tych równań dostajemy, że sin2β = sinα, czyli że 2β=α (dlaczego można opuścić sinusy po obu stronach?).
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
