Zad. 1. Dla jakiego argumentu funkcja f(x) = x2014 + 2014/x określona dla x>0 przyjmuje najmniejszą wartość?
Zad. 2. Wyznacz w zależności od n wartość sumy [tex]3+33+333+\ldots+\underbrace{3\ldots 33}_{n} [/tex].
Zad. 3. Oblicz objętość i pole powierzchni ośmiościanu foremnego o krawędzi długości 1 cm.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Konrad Budzyński IX LO Wrocław, Robert Czwartosz LO Trzebnica, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Dawid Hanrahan I LO Brzeg, Alina Langa I LO Oleśnica, Szymon Meyer II LO Opole, Konrad Piechota IX LO Wrocław i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski,
- 2,5 pkt. - Piotr Paduszyński SLO Żary, Cyprian Skóra LO Głubczyce i Marta Włóczyk OSSP Opole,
- 2 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Piotr Jażdżewski I LO Oleśnica i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko,
- 1 pkt. - Piotr Pojda ZSO Głubczyce,
- 0,5 pkt. - Kamila Bojar ZSP Szprotawa.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 0,5 punktu.
Po trzech miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 9 pkt. (na 9 możliwych) prowadzą: Konrad Budzyński, Bartosz Czyżewski, Szymon Meyer i Konrad Piechota. Drugie miejsce z wynikiem 8,5 pkt. zajmują: Piotr Paduszyński i Tomasz Stempniak. Trzecie miejsce z wynikiem 7,5 pkt. zajmuje Robert Czwartosz. Gratulujemy!
Zad. 1. Funkcja f(x) przyjmuje najmniejszą wartość dla x=1. Wówczas f(1) = 2015. Dla osób znających rachunek różniczkowy jest to zadanie sprowadzające się do obliczenia pochodnej funkcji i znalezienia miejsca zerowego, w którym pochodna zmienia znak (można to zrobić bardzo łatwo). Jeśli ktoś nie zna rachunku różniczkowego, może zastosować nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczna (tzw. nierówność Cauchy'ego):$$\frac{x^{2014}+\frac{2014}{x}}{2015}\geq\sqrt[2015]{x^{2014}\frac{1}{x^{2014}}}$$ $$x^{2014}+\frac{2014}{x}\geq 2015 .$$
Ponieważ równość w nierówności Cauchy'ego zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby, dla których obliczamy średnią są równe (tj. x2014=1/x), zachodzi to tylko dla x=1. Stąd najmniejszą wartością funkcji f jest 2015 dla argumentu x=1.
Zad. 2.
[tex]3+33+333+\ldots+\underbrace{3\ldots 33}_{n} =[/tex]
[tex]\frac{1}{3}(9+99+999+\ldots+\underbrace{9\ldots 99}_{n})=[/tex]
[tex]\frac{1}{3}(10-1+10^2-1+10^3-1+\ldots+10^n-1)=[/tex]
[tex]\frac{1}{3}(10\cdot\underbrace{1\ldots 11}_{n}-n)=[/tex]
[tex]\frac{1}{27}(10\cdot\underbrace{9\ldots 99}_{n}-9n)=[/tex]
[tex]\frac{1}{27}(10\cdot(10^n-1)-9n)[/tex].
Zad. 3. Pole powierzchni ośmiościanu foremnego jest równe 2√3 cm2, a objętość √2/3 cm3.
Pole powierzchni bocznej jest sumą pól ośmiu trójkątów równobocznych o boku długości 1 cm,
czyli jest równe 8·0,5·1·√3/2=2√3 cm2.
Objętość ośmiościanu foremnego jest sumą objętości dwóch ostrosłupów prawidłowych czworokątnych o krawędziach równych 1 cm, czyli jest równa 2·1/3·12·√2/2=√2/3 cm3.
