Zad. 1. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych m i n, których różnica kwadratów jest sześcianem liczby pierwszej.
Zad. 2. Rozwiąż równanie z niewiadomą x: [tex]\cos\left(\frac{\pi}{3}+\left[\frac{\pi}{3x}\right]\right)=0,5[/tex], gdzie [a] oznacza część całkowitą liczby a.
Zad. 3. Znajdź trójkąt, którego boki mają długości większe od 2 cm, a mimo to jego pole jest mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku długości 1 cm.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Piotr Paduszyński SLO Żary i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski,
- 2,5 pkt. - Konrad Budzyński IX LO Wrocław i Marta Włóczyk OSSP Opole,
- 2 pkt. - Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Robert Czwartosz LO Trzebnica, Dawid Hanrahan I LO Brzeg i Szymon Meyer II LO Opole,
- 1,5 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Konrad Piechota IX LO Wrocław i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko,
- 1 pkt. - Alina Langa I LO Oleśnica.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 1 punktu.
Po czterech miesiącach Ligi Zadaniowej z wynikiem 12 pkt. (na 12 możliwych) prowadzi: Bartosz Czyżewski. Drugie miejsce z wynikiem 11,5 pkt. zajmują: Konrad Budzyński, Piotr Paduszyński i Tomasz Stempniak. Trzecie miejsce z wynikiem 11 pkt. zajmuje Szymon Meyer. Gratulujemy!
Zad. 1. Załóżmy bez zmniejszenia ogólności, że m>n. Niech p oznacza liczbę pierwszą. Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania m2 - n2 = p3, czyli (m-n)·(m+n) = p3. Ponieważ (m-n)<(m+n), mamy do rozwiązania dwa układy równań: m-n=1, m+n=p3 oraz m-n=p, m+n=p2. Pierwszy układ jest spełniony przez pary m = 0,5·(1+p3) i n = 0,5·(p3-1), dla p nieparzystych, czyli p>2. Drugi układ jest spełniony przez pary m = 0,5·(p+p2) i n = 0,5·(p2-p) dla wszystkich liczb pierwszych p.
Zad. 2. Równanie [tex]\cos\left(\frac{\pi}{3}+\left[\frac{\pi}{3x}\right]\right)=0,5[/tex] sprowadza się do dwóch przypadków: [tex]\frac{\pi}{3}+\left[\frac{\pi}{3x}\right]=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex] oraz [tex]\frac{\pi}{3}+\left[\frac{\pi}{3x}\right]=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex], gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Po uproszczeniu pierwszego równania dostaniemy [tex]\left[\frac{\pi}{3x}\right]=2k\pi[/tex]. Lewa strona zawsze przyjmuje wartości całkowite, a prawa jest całkowita tylko dla k=0. Stąd zostaje do rozwiązania równanie [tex]\left[\frac{\pi}{3x}\right]=0[/tex], czyli [tex]0\leq\frac{\pi}{3x}<1[/tex], co jest spełnione dla $x > \pi{/}3$. Po analizie drugiego równania okazuje się, że po uproszczeniu prawa strona nigdy nie przyjmie wartości całkowitej, więc w tym przypadku nie ma żadnych liczb spełniających równanie.
Zad. 3. Pole trójkąta równobocznego o boku 1 cm to √3/4 ≈ 0,433 cm2. Trójkąty, których boki będą dłuższe od 2 cm, a pole mniejsze niż √3/4, można konstruować na wiele sposobów. Jednym z nich jest rozważenie trójkąta równoramiennego, którego suma długości ramion jest niewiele dłuższa od długości podstawy. Niech podstawa takiego trójkąta ma 4 cm. Wtedy jego wysokość nie może przekroczyć √3/8 cm, a to oznacza, że ramiona muszą być krótsze niż √259/8 ≈ 2,01168 cm. Przykładowym może być trójkąt o bokach 4 cm, 2,01 cm i 2,01 cm.
Dziedzina w zadaniu 2
Czy w zadaniu 2 należy uwzględnić x należące do liczb ujemnych? Jeśli tak, to ile według definicji wynosi [-1,5]? -1 czy -2 ?
Zad. 2
Równanie należy rozwiązać w liczbach rzeczywistych (jesli w treści nie podano inaczej, zazwyczaj to właśnie mamy na myśli). Funkcja "część całkowita" jest standardowo zdefiniowana na liczbach rzeczywistych.