Zad. 1. Udowodnij, że jeśli suma dwóch liczb dodatnich jest równa 1, to suma ich kwadratów jest równa co najmniej 1/2.
Zad. 2. Legenda mówi, że wynalazca szachów - mędrzec Sissa - zażądał za nauczenie reguł tej gry od hinduskiego władcy Scherama tyle ziaren pszenicy, żeby mógł pokryć nią szachownicę w następujący sposób: na pierwsze pole kładziemy 1 ziarno, na drugie pole kładziemy 2 ziarna, na trzecie pole kładziemy 4 ziarna, a na każde następne pole - dwa razy więcej ziaren, niż leży na polu poprzednim. Scheram ucieszył się, że życzenie mędrca było tak skromne, ale wkrótce przekonał się, że zawartość wszystkich posiadanych przez niego spichlerzy nie wystarczy, by je spełnić. Plon pszenicy w 2014 roku na całej kuli ziemskiej szacowany jest na 720 mln ton. Przyjmijmy, że masa tysiąca ziaren współczesnej pszenicy wynosi 48 g. Czy wystarczyłoby tej pszenicy na spełnienie żądania Sissy? Jeśli nie, to ile pól szachownicy można by tą pszenicą zapełnić?
Zad. 3. W sześciokąt foremny wpisano okrąg oraz opisano na nim okrąg. Różnica długości promieni tych okręgów wynosi x. Oblicz długość boku tego sześciokąta.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Konrad Budzyński IX LO Wrocław, Bartosz Czyżewski I LO Jelenia Góra, Piotr Jażdżewski I LO Oleśnica, Alina Langa I LO Oleśnica, Szymon Meyer II LO Opole, Piotr Paduszyński SLO Żary i Konrad Piechota IX LO Wrocław,
- 2,5 pkt. - Kamila Bojar ZSP Szprotawa, Robert Czwartosz LO Trzebnica, Dawid Hanrahan I LO Brzeg, Piotr Pojda ZSO Głubczyce, Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski i Marta Włóczyk OSSP Opole,
- 2 pkt. - Krzysztof Bednarek III LO Wrocław, Maciej Golec IX LO Wrocław, Joanna Krawiec LO Głubczyce i Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko,
- 1,5 pkt. - Kamil Demczyszyn VI Technikum Wrocław, Łukasz Ptak III LO Wrocław, Zuzanna Raszczyk VIII LO Wrocław i Cyprian Skóra LO Głubczyce,
- 1 pkt. - Marta Smykała ZSO Głubczyce,
- 0,5 pkt. - Alicja Całujek LO Góra i Przemysław Szeliński LO Głubczyce.
Pozostali uczestnicy zdobyli poniżej 0,5 punktu.
Zad. 1. Niech a i b będą liczbami dodatnimi takimi, że a+b=1. Korzystając z nierówności pomiędzy średnią kwadratową i arytmetyczną liczb a i b (tzw. nierówność Cauchy'ego), otrzymamy: [tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}[/tex]. Stąd (podnosząc obustronnie do kwadratu - wszak obie strony nierówności są dodatnie - i korzystając z założenia o sumie liczb a i b) łatwo dostajemy tezę: [tex]a^2+b^2\geq\frac{1}{2}[/tex].
Nierówność Cauchy'ego można uzasadnić następująco:
[tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}[/tex]
[tex]\frac{a^2+b^2}{2}\geq\frac{a^2+b^2+2ab}{4}[/tex]
[tex]\frac{a^2+b^2}{4}\geq\frac{ab}{2}[/tex]
[tex](a-b)^2\geq 0[/tex],
co kończy dowód, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, a wszystkie wykonane po drodze przejścia (przy dodatnich a i b) były równoważne. Gdyby były to tylko implikacje, nic byśmy w ten sposób nie udowodnili, bo z fałszywego założenia w poprawnym rozumowaniu może wyniknąć zarówno prawda jak i fałsz.
Zad. 2. Nawet współczesne światowe plony pszenicy nie pozwolą spełnić żądania Sissy. Można nimi pokryć tylko 53 pola szachownicy i częściowo zapełnić 54. pole. Obecnie produkuje się na świecie (720·1012/48)·1000 = 15·1015 sztuk ziaren pszenicy. Sissa zażądał, aby liczby ziaren na kolejnych polach szachownicy były wyrazami ciągu geometrycznego o wzorze an=2n-1, gdzie n jest numerem pola. Wzór na sumę ziaren pszenicy na n polach to Sn = (2n-1)/(2-1) = 2n-1. W celu obliczenia n przyrównamy to wyrażenie do liczby produkowanych obecnie ziaren pszenicy, tj. 2n-1 = 15·1015. Stąd n = log2(15·1015+1) ≈ 53,74.
Zad. 3. Długość boku sześciokąta wynosi 2(2+√3)·x, gdzie x jest różnicą długości promieni okręgów opisanego na sześciokącie i wpisanego w sześciokąt. Ponieważ promień okręgu opisanego na sześciokącie o boku długości a, jest równy a, a promień okręgu wpisanego jest równy a√3/2, ich różnica wynosi x = a - a√3/2.
Stąd wyliczamy a = 2(2+√3)·x.
Błąd w odpowiedzi do zadania 2
720·1012/48 = 15·1012 a nie jak podano 15·1015.
Błąd
Faktycznie błąd był, ale w innym miejscu, jeszcze przed znakiem równości. Podana masa 48 g, to masa 1000 ziaren, zatem powinno być (720·1012/48)·1000 = 15·1015. Dziękuję za czujność.