Zad. 1. W pudełku jest 30 piłeczek ping-pongowych, każda w jednym z trzech kolorów. Jeżeli z pudełka wyjmiemy jakiekolwiek 25 piłeczek, to wśród nich będą zawsze co najmniej 3 białe, będzie co najmniej 5 niebieskich i co najmniej 7 zielonych. Ile jest w pudełku piłeczek każdego z kolorów?
Zad. 2. Przy stole siedzi pięć dziewcząt i pewna liczba chłopców. Są to uczniowie z dwóch szkół. Na stole na talerzu leży 30 cukierków. Każda dziewczyna dała po jednym cukierku chłopcu ze swojej szkoły, a każdy chłopiec dał po jednym cukierku każdej dziewczynie z nie swojej szkoły. Wtedy wszystkie cukierki zostały rozdane. Ilu chłopców było przy stole?
Zad. 3. Arek narysował odcinek długości a cm, a Beata - odcinek długości b cm, przy czym a > b. Oboje podzielili swoje odcinki na 3 części. Najpierw zrobił to Arek, a potem Beata. Jeżeli z tych sześciu odcinków można zbudować 2 trójkąty, to Beata wygrywa, a jeżeli nie, to wygrywa Arek. Czy Arek może tak podzielić swój odcinek, aby zapewnić sobie zwycięstwo? Odpowiedź uzasadnij.
W grudniu punkty zdobyli punkty zdobyli:
- 3 pkt. – Wojciech Domin SP Pisarzowice;
- 2,5 pkt. –Emilia Cichowska SP 14 Lubin, Michał Dźwigaj SP 1 Przemków, Anna Mędrzak SP 4 Warszawa, Paweł Michałowski PrSP 1 Białystok, Michał Plata SP 2 Syców, Cezary Rębiś SP Jedlnia-Letnisko, Tymosz Srokosz, Michał Węgrzyn SP 9 Wrocław, Szymon Wróbel SSP Gliwice;
- 2 pkt. Patryk Boruń SP 2 Wałbrzych, Adam Chowanek SP Mieroszów, Szymon Grech NSP Koszarowa Bystra, Amelia Gugała SP Wrzosów, Paulina Hołodniuk SP 2 Wołów, Filip Klich SP Ekola Wrocław, Sandra Łuczak SP 107 Wrocław, Adam Maleszka ChSP Arka Wrocław, Tymoteusz Noremberg SP 29 Wrocław, Lena Nowacka SP 28 Wałbrzych, Kacper Przywara SP Józefów n. Wisłą, Lena Rojecka ChSP Arka Wrocław, Karol Skowera SP 2 Wałbrzych, Michał Spieszko SP 9 Gliwice, Filip Timofiejczuk SP 3 Tarnowskie Góry, Tobiasz Twardy SP Biedrzykowice, Aleksandra Wiercińska SP Raszówka;
- 1 pkt – Jakub Binger SP Brzoza, Natalia Cubala SP Jedlnia-Letnisko, Zuzanna Dropia SP Świerże Górne, Filip Godek SP 5 Kielce, Wiktoria Jaguszczak, Igor Machaj PSP Świerże Górne, Jakub Malicki SP Kobierzyce, Antoni Maracewicz SP Aslan GłogówInga Niżańska SP 3 Wrocław, Kacper Przywara SP Józefów n. Wisłą, Alicja Stachowska SP 28 Wałbrzych, Marian Stawowy Salezjańska SP Wrocła, Piotr Szymiec SP Pępowo.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu
Zad. 1. Po wyjęciu 25 piłeczek w pudełku zostaje ich 5. Gdyby wszystkie były tego samego koloru, to kul białych maksymalnie byłoby 3+5 = 8, niebieskich 5+5 = 10, a zielonych 7+5 = 12. Ale 8+10+12 = 30, zatem w pudełku jest 8 kul białych, 10 niebieskich i 12 zielonych.
Zad.2. Niech d1 i c1 oznaczają odpowiednio liczby dziewczynek i chłopców ze szkoły S1, a d2 i c2 - liczby dziewczynek i chłopców ze szkoły S2. Wówczas d1c1 + d2c2 + c1d2 + c2d1 = 30, czyli c1(d1+d2) + c2(d1+d2) = 30. Wszystkich dziewczynek jest 5, zatem 5c1 + 5c2 = 30, czyli 5(c1+c2) = 30, a stąd c1+c2 = 6. Przy stole było więc sześciu chłopców.
Zad. 3. Aby zapewnić sobie zwycięstwo, Arek powinien podzielić swój odcinek na części o długościach x > y > z takich, że a = x+y+z oraz x ≥ b+y i z<b. Wtedy x > y+z, czyli z odcinków Arka nie można zbudować trójkąta. Ponadto x jest większe od sumy długości każdych dwóch pozostałych odcinków powstałych z podziałów odcinków a i b.
