Zad. 1. Na tablicy napisano 2021 czwórek. W każdym kroku zmazujemy dwie liczby znajdujące się na tablicy i zapisujemy kwadrat sumy zmazanych liczb. Czy jest możliwe, że ostatnia liczba, która pozostanie na tablicy, będzie mieć sumę cyfr podzielną przez 9?
Zad. 2. Znajdź wszystkie ciągi liczb naturalnych spełniające dla każdej liczby naturalnej n równość:
Uwaga. Każdy ciąg jest także funkcją (o dziedzinie będącej liczbami naturalnymi). Z tego powodu dla wygody zapisaliśmy wartość ciągu tak, jak zwykle zapisuje się wartości funkcji. Równoważnym zapisem (choć nieco mniej czytelnym) byłby taki: [tex]a_{a_n}=n+2[/tex]. W tym przypadku poszukujemy oczywiście ciągów [tex]\langle a_n \rangle[/tex] .
Zad. 3. Na zewnątrz trójkąta ABC skonstruowano kwadraty ABDE i ACFG. Środek odcinka BC oznaczamy przez M. Wykaż, że proste AM i EG są prostopadłe.
Punkty za zadania grudniowe zdobyli:
- 17 - Igor Sudyka (SP 2 Jasło)
- 12 - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław)
Klasyfikacja generalna po 3 miesiącach Ligi:
- 32 pkt - Aleksander Porębny (SP 113 Wrocław)
- 22 pkt - Igor Sudyka (SP 2 Jasło)
- 12 pkt - Monika Budzeń (SP 7 Leszno)
Zad. 1. Zauważmy, że wszystkie liczby na tablicy przystają do 1 modulo 3 (tzn. dają z dzielenia przez 3 resztę 1). Suma dwóch takich liczb przystaje do 2 modulo 3. Kwadrat tej sumy przystaje modulo 3 do 1 (dlaczego?), zatem na tablicy w każdym momencie znajdują się wyłącznie liczby niepodzielne przez trzy. Ostatnia liczba nie może mieć sumy cyfr podzielnej przez 9, gdyż sama byłaby podzielna przez 9, czyli także przez trzy.
Zad. 2. Jeżeli x=y, to także f(x)=f(y). Analogicznie, jeśli f(f(n)) = n+2, to także f(f(f(n))) = f(n+2). Ale f(f(f(n))) jest również równe f(n)+2 (gdy w oryginalnym wzorze zastąpimy n przez f(n), otrzymamy właśnie tę równość), wobec tego dla każdej liczby naturalnej n zachodzi f(n+2) = f(f(f(n))) = f(n)+2, czyli w szczególności f(n+2) = f(n)+2. Ten fakt pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu, znając tylko dwa pierwsze jego wyrazy, na przykład: f(6) = f(4+2) = f(4)+2 = f(2+2)+2 = f(2)+2+2 = f(0+2)+4 = f(0)+6.
W ten sposób możemy pokazać, że jeśli n jest parzysta, to f(n) = f(0)+n, a jeśli jest nieparzysta - to f(n) = f(1)+n-1. Jeśli f(0) jest parzyste, to 2 = f(f(0)) = f(0)+f(0), czyli f(0)=1, a więc sprzeczność. Zatem f(0) jest nieparzyste, ale wtedy 2 = f(f(0)) = f(1)+f(0)–1, czyli f(1)+f(0)=3, czyli f(1) musi być parzyste. Co więcej, by warunek zadania miał sens, wartości ciągu muszą być liczbami naturalnymi. Mamy zatem dwie możliwości: albo f(0)=3 i f(1)=0, albo f(0)=1 i f(1)=2. Są to jedyne ciągi, które mogą spełniać warunki zadania, nie ma jednak gwarancji, że istotnie te warunki spełniają – należy to sprawdzić.
W pierwszym przypadku mamy dla liczb parzystych: f(f(n)) = f(f(0)+n) = f(f(0))+n = f(3)+n = f(1)+2+n = n+2. Dla liczb nieparzystych mamy: f(f(n)) = f(f(1)+n–1) = f(f(1))+n–1 = f(0)+n–1 = 3+n–1=n+2. Zatem ciąg: 3, 0, 5, 2, 7, 4, 9, 6, 11, 8, … spełnia warunki zadania. Drugi ciąg: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … również je spełnia. Można to sprawdzić albo analogicznie jak poprzednio, albo zauważając, że drugi ciąg ma wzór ogólny f(n) = n+1, czyli f(f(n) = f(n+1) = n+1+1 = n+2.
Zad. 3. Dorysujmy taki punkt H, by ABHC był równoległobokiem. Zauważmy, że wówczas AM jest połową przekątnej AH. Wówczas trójkąty AGE i ABH są przystające (z cechy b-k-b). Ponieważ AG jest prostopadły do BH, a AE do AB, więc EG jest prostopadły do AH, czyli także do AM.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
