Zad. 1. Uzasadnić, że równanie x1000000 + 2 = (1,000001)x ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Podać przedział, w jakim na pewno znajduje się ten pierwiastek (z uzasadnieniem).
Zad. 2. Jak szybko i wygodnie wyliczyć na kalkulatorze naukowym jedenasty wyraz ciągu danego wzorem: a0 = 7, an = [tex]\cos\frac{\sqrt{a_{n-1}+3}}{\frac{1}{a_{n-1}} -2}[/tex].
Zad. 3. Jaką wysokość będzie miał Instytut Matematyczny UWr umieszczony na trójwymiarowym planie miasta? Podaj poczynione założenia i przeprowadzone rachunki.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Marzena Wąsiewicz - nauczycielka z Kajetan,
- 2,25 pkt. - Krystyna Lisiowska - redaktor z Warszawy,
- 1 pkt. - Kasper Przenzak - analityk ryzyka z Krakowa.
Zad. 1. I sposób: Podane równanie ma na pewno pierwiastek rzeczywisty dodatni, bo dla x dążącego do nieskończoności granica stosunku wyrażenia po lewej do wyrażenia po prawej stronie wynosi 0 (dlaczego?), a dla x=0 lewa strona jest większa od prawej. Funkcja zdefiniowana jako różnica lewej i prawej strony jest ciągła (dlaczego?) i ma wartość dodatnią w 0 oraz ujemną dla x bardzo dużych, zatem z twierdzenia Darboux w pewnym punkcie o dodatniej współrzędnej ma miejsce zerowe, którego pierwsza współrzędna jest pierwiastkiem podanego równania.
II sposób (bardziej precyzyjny): Ponieważ (1013)1000000+2 > 1,00000110^13
(bo 1013000000+2 > 4,4·104342942) oraz (1014)1000000+2 < 1,00000110^14
(bo 1014000000< 2,9·1043429426),
pierwiastek danego równania istnieje (na mocy twierdzenia Darboux o funkcji ciągłej) i znajduje się w przedziale (1013, 1014).
Zad. 2. Należy wpisać wyraz a0, czyli 7, przenieść go do pola odpowiedzi (wciskając klawisz "="/"enter"), a następnie wpisać formułę na an w miejsce an-1 wstawiając "ANS" (ostatnio uzyskana odpowiedź). Potem wystarczy 11 razy wcisnąć klawisz "="/"enter".
Zad. 3. Instytut Matematyczny UWr z nadbudówką ma 5 kondygnacji, czyli ok. 15 m wysokości. Trójwymiarowy plan (makieta) miasta, aby dała się ogarnąć wzrokiem, powinna mieć średnicę nie większą niż 10 m. Średnica Wrocławia w rzeczywistości to ok. 25 km = 25000 m, zatem sensowna skala planu wyniesie 1:2500. W takiej skali Instytut miałby wysokość 0,006 m = 6 mm.
Czy wiesz, kto z wrocławskich matematyków został uwiecz-niony na tym znakomitym portrecie w piżamie? Kto jest autorem tego obrazu? Gdzie można go obejrzeć?
Jako młody chłopak Knaster ożenił się z poznaną w Paryżu Marią Morską - muzą Skaman-drytów (zm. w 1945 roku). W czasach wrocła-wskich jego drugą żoną była Regina Lewandowska. Pierwszej żonie Knastera poświęcona jest książka Hanny Faryny-Paszkiewicz "Opium życia".
Steinhaus twierdził, że nazwisko Knaster brzmi w dopeł-niaczu Knastra, a sam Knaster upierał się przy formie Knastera. 
