Zad. 1. Dany jest czworościan o krawędziach długości a, b, c, d, e, f oraz o polu powierzchni całkowitej S. Udowodnij, że [tex] S \leq (\frac {\sqrt{3}}{6}) *(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)[/tex].
Zad. 2. Znajdź wszystkie wielomiany P(x) spełniające dla każdego rzeczywistego x równość P(x3+1)=(P(x+1))3.
Zad. 3. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym w wierzchołku C. Na bokach AC i BC obrano punkty odpowiednio D i E, a następnie zrzutowano wierzchołek C na odcinki DE, EA, AB i BD. Udowodnij, że otrzymane rzuty leżą na jednym okręgu.
W tym miesiącu 30 punktów zdobył Radosław Górzyński (I LO Lubin). Gratulacje.
Zad. 1. Niech ABCD będzie opisnym czworościanem, gdzie |AB|=a, |AC|=b, |AD|=c, |BC|=d, |CD|=e, |BD|=f. Ponadto oznaczmy przez S1, S2, S3, S4 pola odpowiednio ścian ABC, ACD, ABD i BCD. Wtedy mamy S = S1+S2+S3+S4. Pokażemy, że w trójkącie o bokach długości a, b, c i o polu S zachodzi [tex] 4S \sqrt{3} \leq a^2 + b^2 + c^2 [/tex]. Ze wzoru Herona oraz nierówności między średnimi mamy [tex] 4S= \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} \leq \sqrt{(a+b+c)* \frac{(a+b+c)^3}{27} } = \\ = \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{27}} = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2) - (a-b)^2 - (b-c)^2 - (c-a)^2}{\sqrt{27}} \leq \frac{a^2 + b^2 + c^2}{\sqrt{27}} [/tex].
Dodając tę nierówność zastosowaną do każdej ze ścian, otrzymamy szukaną nierówność.
Zad. 2. Niech f(x) = P(x+1). Wtedy [tex] f \left( x^3 \right) = P \left( x^3 +1 \right) = \left( P \left( x+1 \right) \right) ^3 = \left( f \left( x \right) \right) ^3 [/tex]. Przyjmijmy [tex] f(x) = x^k f_1 (x) [/tex], gzie [tex] 0 \leq k [/tex] i [tex] f_1 [/tex]jest takim wielomianem, że [tex] f_1 (0) = 1[/tex]. Z warunków zadania wynika, że [tex] x^{3k} f_1 (x) = x^{3k} (f_1 (x))^3 [/tex] czyli [tex] f_1 (x^3) = (f_1 (x))^3 [/tex]. Pokażemy, że [tex] f_1 (x) [/tex] nie jest wielomianem stałym. Jeśli [tex] f_1 (x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} +...+ a_n , a_0 \neq 0, a_n =1 [/tex] to istnieje [tex] 1 \leq s [/tex] takie, że [tex] a_{n-s} \neq 0, a_{n-s+1} = a_{n-s+2} =...= a_{n-1} = 0 [/tex]. Z równości [tex] f_1 (x^3) = (f_1 (x))^3 [/tex] wynika, że współczynnik przy [tex] x^8 [/tex] wynosi z jednej strony 0, zaś z drugiej [tex] 3a_{n-s} a_n ^2 [/tex]. Otrzymujemy więc sprzeczność. Zatem f_1 = const = 1. Stąd [tex] f(x) = +-x^k [/tex], więc [tex] P(x) = +-(x-1)^k [/tex]. Łatwo sprawdzić, że ten wielomian spełnia podaną w zadaniu równość.
Zad. 3. Niech [tex] \angle{CED} = \alpha, \angle{CBD} = \beta, \angle{DEA} = \gamma [/tex]. Ponadto rzuty C na odcinki AB, AE, ED i BD oznaczmy odpowiednio przez P, Q, R, S. Ponieważ czworokąty CQPA, BPSC, CRSD i CRQE są wpisywalnie odpowiednio w okręgi o średnicach AC, BC, CD i CE, więc mamy
(1) w czworokącie CPQA: [tex] \angle{CQP} = 180^{\circ} - A, \\ \angle{QPA} = 180^{\circ} - \angle{QCA}, \\ \angle{AQP} = \angle{ACP} =90^{\circ} - A = B, \\ \angle{QPC} = \angle{QAC} =90^{\circ} - \angle{QCA} = 90^{\circ} - ( \alpha + \beta ) [/tex].
(2) w czworokącie BPSC: [tex] \angle{BPS} = 180^{\circ} - \angle{BCS}, \\ \angle{PSC} = 180^{\circ} - B, \\ \angle{PSB} =90^{\circ} - B = a, \\ \angle{CPS} =90^{\circ} - \angle{BCS} = \beta [/tex]
(3) w czworokącie CRSD: [tex] \angle{RSD} = 180^{\circ} - \angle{RCD} = 180^{\circ} - \alpha , \\ \angle{RSC} = 90^{\circ} - \alpha , \\ \angle{DRS} = \beta , \\ \angle{CRS} =90^{\circ} + \angle{DRS} =90^{\circ} + \beta [/tex]
(4) w czworokącie CRQE: [tex] \angle{CRQ} = 180^{\circ} - ( \alpha + \gamma ), \\ \angle{ERQ} = 90^{\circ} - ( \alpha + \gamma ) [/tex]
zatem [tex] \angle{QRS} = 180^{\circ} - ( \angle{ERQ} + \angle{DRS} ) = 90^{\circ} +\alpha - \beta + \gamma, \\ \angle{QPS} =\angle{QPC} + \angle{CPS} = 90^{\circ} - \alpha + \beta - \gamma = 180^{\circ} - \angle{QRS} [/tex].
